高三数学 备考冲刺140分 问题30 转化与化归思想解决立体几何中的探索性问题（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP免费

问题30转化与化归思想解决立体几何中的探索性问题一、考情分析立体几何中的探究性问题既能够考查学生的空间想象力，又可以考查学生的意志力和探究意识，逐步成为近几年高考命题的热点和今后命题的趋势之一，探究性问题主要有两类：一是推理型，即探究空间中的平行与垂直关系，可以利用空间线面关系的判定与性质定理进行推理探究；二是计算型，即对几何体中的空间角与距离、几何体的体积等计算型问题的有关探究，此类问题多通过求角、求距离、体积等的基本方法把这些探究性问题转化为关于某个参数的方程，根据方程解的存在性来解决.二、经验分享1.对命题条件的探索常采用以下三种方法：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再给出证明.(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.(2)把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件.2.对于存在判断型问题，解题的策略一般为先假设存在，然后转化为“封闭型”问题求解判断，若不出现矛盾，则肯定存在；若出现矛盾，则否定存在.这是一种最常用也是最基本的方法对命题结论的探索，常从条件出发，探索出要求的结论是什么，另外还有探索的结论是否存在.求解时，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾的结论.3.解决立体几何中的探索性问题的步骤：第一步：写出探求的最后结论；第二步：证明探求结论的正确性；第三步：给出明确答案；第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．三、题型分析(一)空间线面关系的探索性问题1.空间平行关系的探索性问题【例1】如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．（1）求证：AD⊥平面BCC1B1；（2）设在棱上是否存在点，使得A1E∥平面ADC1？请给出证明．【分析】（1）利用正棱柱的性质——侧棱与底面垂直，得到面，从而，然后结合已知即可得证；（2）根据正三棱柱的性质即可判断点的存在性，当为棱的中点时，有，从而可证A1E∥平面ADC1.【解析】（1）在正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，AD平面ABC，∴AD⊥CC1．又AD⊥C1D，CC1交C1D于C1，且CC1和C1D都在面BCC1B1内，∴AD⊥面BCC1B1．（2）存在点，当点为棱的中点时，A1E∥平面ADC1.由（1），得AD⊥BC．在正三角形ABC中，D是BC的中点．当E为B1C1的中点时，A1E∥平面ADC1．事实上，正三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形BCC1B1是矩形，且D、E分别是BC、B1C1的中点，所以B1B∥DE，B1B=DE．又B1B∥AA1，且B1B=AA1，∴DE∥AA1，且DE=AA1．所以四边形ADEA1为平行四边形，所以EA1∥AD．而EA1面ADC1内，故A1E∥平面ADC1．【点评】线面平行与垂直是高考考查空间线面关系证明的两个重点，此类探究性问题的求解，一定要灵活利用空间几何体的结构特征，注意其中的平行与垂直关系，如该题中正棱柱中侧棱与底面垂直关系的应用；为棱的中点时，有等的灵活应用，帮助我们能够准确地判断探究性问题的结论，丙直接迅速地把握证明的思路.【小试牛刀】【湖南省怀化市2019届高三3月第一次模拟】如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点.（1）求证：；（2）若平面，求二面角的大小；（3）在（2）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.【解析】（1）连交于，由题意.在正方形中，，所以平面，得（2）由题设知，连，设交于于，由题意知平面.以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图.设底面边长为，则高.则，，又平面，则平面的一个法向量，平面的一个法向量，则，又二面角为锐角，则二面角为；（3）在棱上存在一点使平面.由（2）知是平面的一个法向量，且，设，则又平面，所以，则.即当时，而不在平面内，故平面.2.空间垂直关系的探索性问题【例2】棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为棱的中点.(1)求证：；(2)求在线段上是否存在点G，使⊥面DFG.？试证明你的结论.【分析】（1）先根据正方体的性质得到，，进而证明面，故可得到结论；（2）首先根据正方体的结构特征确定点G的存在性和具体位置，然后进行证明.【解析】（1）连接，，由正方体的性质可知，，所以面，所以.(2)存在点G，当点G为点，⊥面DFG.证明如下：由(1)知，取CD的中点H，连AH,EH.由DFA...