第八章第七节双曲线题组一双曲线的定义及标准方程1.(2010·汕头一模)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为()A．x2－y2＝1B．x2－y2＝2C．x2－y2＝D．x2－y2＝解析：由题意，设双曲线方程为－＝1(a>0)，则c＝a，渐近线y＝x，∴＝，∴a2＝2.∴双曲线方程为x2－y2＝2.答案：B2．已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)、F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且满足·＝0，||·||＝2，则该双曲线的方程是()A.－y2＝1B．x2－＝1C.－＝1D.－＝1解析： ·＝0，∴⊥，∴MF1⊥MF2，∴|MF1|2＋|MF2|2＝40，∴(|MF1|－|MF2|)2＝|MF1|2－2|MF1|·|MF2|＋|MF2|2＝40－2×2＝36，∴||MF1|－|MF2||＝6＝2a，a＝3，又c＝，∴b2＝c2－a2＝1，∴双曲线方程为－y2＝1.答案：A题组二双曲线的几何性质3.(2009·宁夏、海南高考)双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为()A．2B．2C.D．1解析：双曲线－＝1的焦点为(4,0)或(－4,0)．渐近线方程为y＝x或y＝－x.由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，d＝＝2.答案：A4．(2010·普宁模拟)已知离心率为e的曲线－＝1，其右焦点与抛物线y2＝16x的焦点重合，则e的值为()A.B.C.D.解析：抛物线焦点坐标为(4,0)，则a2＋7＝16，∴a2＝9，∴e＝＝.答案：C5．(2009·江西高考)设F1和F2为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，若F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为()A.B．2C.D．31解析：＝tan60°，＝⇒4b2＝3c2⇒4(c2－a2)＝3c2⇒c2＝4a2⇒＝4⇒e＝2.答案：B6．(2010·广州模拟)已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(1,2)C．(1,1＋)D．(2,1＋)解析：如图，要使△ABE为锐角三角形，只需∠AEB为锐角，由双曲线对称性知△ABE为等腰三角形，从而只需满足∠AEF<45°.又当x＝－c时，y＝，∴tan∠AEF＝＝<1，∴e2－e－2<0，又e>1，∴1
