第八章第二节双曲线题组一双曲线的定义及标准方程1.“双曲线的方程为－＝1”是“双曲线的准线方程为x＝±”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：若双曲线方程为－＝1时，a2＝9，b2＝16⇒c＝5⇒准线方程为：x＝±充分性成立．反之则不成立，因为当＝时，可有a2＝9k，c＝5k(k>0)成立，此时双曲线方程不再为－＝1(k＝1除外)即必要性不成立．答案：A2．已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)、F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且满足1MN�·1MF�＝0，|1MF�|·|1MF�|＝2，则该双曲线的方程是()A.－y2＝1B．x2－＝1C.－＝1D.－＝1解析： 1MF�·2MF�＝0，∴1MF�⊥2MF�，∴MF1⊥MF2，∴|MF1|2＋|MF2|2＝40，∴(|MF1|－|MF2|)2＝|MF1|2－2|MF1|·|MF2|＋|MF2|2＝40－2×2＝36，∴||MF1|－|MF2||＝6＝2a，a＝3，又c＝，∴b2＝c2－a2＝1，∴双曲线方程为－y2＝1.答案：A3．双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的左准线为l，左焦点和右焦点分别为F1和F2；抛物线C2的准线为l，焦点为F2；C1与C2的一个交点为M，则－等于()A．－1B．1C．－D.解析：如图，设|MF2|＝d，双曲线的离心率为e， M在抛物线上，∴M到双曲线的左准线的距离|MN|＝d.∴＝＝e， M在双曲线上，∴|MF2|＝e(d－)＝ed－2a，∴d＝ed－2a，得d＝.∴|MF2|＝，又由|MF1|＝2a＋|MF2|＝2a＋＝，∴原式＝－＝e－1－e＝－1.答案：A题组二双曲线的几何性质4.(2009·宁夏、海南高考)双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为()A．2B．21C.D．1解析：双曲线－＝1的焦点为(4,0)或(－4,0)．渐近线方程为y＝x或y＝－x.由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，d＝＝2.答案：A5．(2009·江西高考)设F1和F2为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，若F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为()A.B．2C.D．3解析：＝tan60°，＝⇒4b2＝3c2⇒4(c2－a2)＝3c2⇒c2＝4a2⇒＝4⇒e＝2.答案：B6．已知双曲线－＝1的一个焦点在圆x2＋y2－2x－8＝0上，则双曲线的渐近线方程为________．解析：在x2＋y2－2x－8＝0中，令y＝0，得x＝4或x＝－2，由于a＝3，∴将x＝－2舍去，即双曲线的一个焦点是(4,0)，∴c＝4，∴b＝＝，∴y＝±x为双曲线的渐近线方程．答案：y＝±x题组三直线与双曲线的位置关系7.(2010·长沙摸拟)过双曲线2x2－y2－2＝0的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|＝4，则这样的直线有()A．4条B．3条C．2条D．1条解析：过双曲线2x2－y2－2＝0的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若l⊥x轴，则AB的长度正好是4，故直线l交双曲线于同支上的A、B两点且|AB|＝4，这样的直线只有一条；若l经过顶点，此时|AB|＝2，故直线l交双曲线于异支上的A、B两点且|AB|＝4，这样的直线有且只有两条．答案：B8．设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F作平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．解析：由题意知，A(3,0)，F(5,0)，渐近线斜率k＝±，则直线方程为y＝(x－5)，代入－＝1，得x＝，∴y＝－，即B(，－)，∴S△AFB＝×2×＝.答案：题组四双曲线的综合问题9.已知双曲线C：－y2＝1，P是C上的任意点．(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；2(2)设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值．解：(1)证明：设P(x1，y1)是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是x－2y＝0和x＋2y＝0，点P(x1，y1)到两条渐近线的距离分别是和.它们的乘积是·＝＝.∴点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数．(2)设P的坐标为(x，y)，则|PA|2＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋－1＝(x－)2＋. |x|≥2，∴当x＝时，|PA|2的最小值为，即|PA|的最小值为.10．(文)已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且OA�·OB�＞2(其中O为原点)，求k的取值范围．解：(1)设双曲线C2的方程为－＝1，则a2＝4－1＝3，c2＝4，由a2＋b2＝c2，得b2＝1，故C2的方程为－y2＝1.(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，得(1－3k2)x...
