专题77把握递推关系解决数学归纳法问题考纲要求:1．了解数学归纳法的原理；2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．基础知识回顾:1、数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．2．数学归纳法的框图表示：应用举例:类型一、用数学归纳法证明等式例1、用数学归纳法证明：【答案】详见解析．【解析】试题分析：直接运用数学归纳法对命题进行证明即可得出所证的答案，其关键是第（Ⅱ）的证明过程．试题解析：（Ⅰ）当时，左边，右边，所以上式成立；（Ⅱ）假设当时等式成立，即，那么当时，，即当时，命题也成立．综上所述，原命题成立．类型二、用数学归纳法证明不等式例2、【2016届江苏省清江中学高三上学期12.29周练】已知.（1）若求中含项的系数；（2）若是展开式中所有无理项的系数和，数列是由各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】试题解析：（1）解：，∴中含项的系数为（2）证明：由题意，当时，，成立；假设当时，成立，当时，（）=（） 即，代入（*）式得成立.综合可知，对任意成立.类型三、归纳——猜想——证明例3、将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明．S1＝1，S2＝2＋3＝5，S3＝4＋5＋6＝15，S4＝7＋8＋9＋10＝34，S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，…解析：由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34；当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44；猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4，那么，当n＝k＋1时，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)，可知对于任意的n∈N*，S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立．点评：“归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是归纳、猜想出公式．方法、规律归纳:1、用数学归纳法证明等式应注意的问题(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n0的值．(2)由n＝k到n＝k＋1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．2．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．3．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值．实战演练:1．【山东省邹城市第一中学2018届高三上学期期中考试】用数学归纳法证明：“”时，从到，等式的左边需要增乘的代数式是A.B.C.D.【答案】D2．【吉林省乾安县第七中学2018届高三上学期第三次模拟考试】用数学归纳法证明“，”，则当时，应当在时对应的等式的两边加上（）A.B.C.D.【答案】A【解析】当n=k时，左边为,当n=k+1时，左边为，所以左边增加的项为，选A.3．【河北武邑中学2017—2018高三年级上学期第二次调研考试】用数学归纳法证明时，由时不等式成立，推证时，左边应增加的项数是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】当n=k时，左边=；当n=k+1时，左边=++…+.因为2k，2k+1，2k+2，…，2k+1-1是一个首项为2k，公差为1的等差数列，共有2k项，所以...
