§5从力做的功到向量的数量积,)1．问题导航(1)计算两个向量的数量积时，需要确定哪几个量？(2)向量的数量积运算结果和向量的线性运算结果有什么区别？(3)若两个向量的数量积大于零，则这两个向量的夹角一定是锐角吗？若两个向量的数量积小于零，则这两个向量的夹角一定是钝角吗？2．例题导读P95例1.通过本例学习，学会计算两个向量的数量积．试一试：教材P97习题2－5A组T2你会吗？P95例2.通过本例学习，学会利用向量的数量积求解与三角形有关的问题．试一试：教材P97习题2－5A组T6你会吗？P96例3.通过本例学习，学会利用向量数量积证明几何中的垂直关系．试一试：教材P97习题2－5B组T2你会吗？P96例4.通过本例学习，学会利用向量的数量积计算两个向量的夹角．试一试：教材P97习题2－5A组T5你会吗？1．力做的功一个物体在F的作用下产生位移s，那么力F所做的功为W＝|F||s|cosθ，其中θ是F与s的夹角．2．两个向量的夹角定义已知两个非零向量a和b，如图，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角范围0°≤θ≤180°垂直当θ＝90°时，称向量a与b互相垂直，记作a⊥b．规定零向量可与任一向量垂直特例当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向3.向量的数量积定义已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，把|a||b|cosθ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos_θ．特别规定：零向量与任一向量的数量积均为0射影|a|cos_θ(|b|cosθ)叫作向量a在b方向上(向量b在a方向上)的射影几何意义a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cosθ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos_θ的乘积物理意义力对物体做功，就是力F与其作用下物体的位移s的数量积F·s4.数量积的性质(1)若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cos_θ．(2)若a⊥b，则a·b＝0；反之，若a·b＝0，则a⊥b.通常记作a⊥b⇔a·b＝0．(a，b为非零向量)(3)a、b同向⇔a·b＝|a||b|；a、b反向⇔a·b＝－|a||b|；特别地a·a＝a2或|a|＝.(4)cosθ＝(|a||b|≠0)．(5)对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|.当且仅当a∥b时等号成立．5．向量数量积的运算定律已知向量a，b，c与实数λ，则交换律a·b＝b·a结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c6.乘法公式成立(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.1(a±b)2＝a2±2a·b＋b2＝|a|2±2a·b＋|b|2等等．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量的数量积的运算结果是一个向量．()(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.()(3)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.()解析：(1)错误．向量的数量积是一个数．(2)错误．向量a与b可能垂直．(3)错误．向量b与向量a，c可能垂直，所以a与c不一定相等．答案：(1)×(2)×(3)×2．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在b方向上的投影为()A．－4B．4C．－2D．2解析：选A.向量a在b方向上的投影为|a|cosθ＝＝＝－4，故选A.3．已知|a|＝3，|b|＝4，则(a＋b)·(a－b)＝________．解析：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.答案：－74．已知△ABC中，BC＝4，AC＝8，C＝60°，则BC·CA＝________．解析：画图可知向量BC与CA的夹角为角C的补角，故BC·CA＝|BC|×|CA|cos(π－C)＝4×8×(－)＝－16.答案：－161．对数量积概念的三点说明(1)从定义上看：两向量的数量积是一个数量，而不是向量，其数值可正、可负、可为零，其决定因素为两向量的夹角．(2)从运算上看：两向量a，b的数量积称作内积，写成a·b，其中“·”是一种运算符号，不同于实数的乘法符号，不可省略．(3)两向量的数量积有明确的物理和几何意义，学习时注意掌握．2．理解数量积的几何意义要关注的三点(1)a在b方向上的投影与b在a方向上的投影是不同的．(2)b在a方向上的投影为|b|cosθ(θ是a与b的夹角)，也可以写成.(3)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．3．数量积性质的作用性质(2)是利用向量法研究垂直问题的依据；性质(3)可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化；性质(4)可用来求两个向量的夹角，它的实质是平面向量数量积的逆用；性质(5)反映了两个数量的大小关系，是向量中很重要的一个不等式，...
