§7向量应用举例1.在四边形ABCD中,=0,,则四边形ABCD是()A.直角梯形B.菱形C.矩形D.正方形解析:由=0知.由知BCAD,故四边形ABCD是矩形.答案C2.(2016江西吉安高中检测)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,∠B=45°,AB=2CD=2,M为腰BC的中点,则=()A.1B.2C.3D.4解析:以A为原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴建立直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1),∴中点M的坐标为,∴.∴=2.答案:B3.当两人提起重量为|G|的旅行包时,夹角为θ,两人用力分别为F1,F2,若|F1|=|F2|=|G|,则θ的值为()A.30°B.60°C.90°D.120°解析:作=F1,=F2,=-G,则,当|F1|=|F2|=|G|时,△OAC为正三角形,∴∠AOC=60°,从而∠AOB=120°.答案:D4.设a,b,c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足a与b不共线,a⊥c,|a|=|c|,则|b·c|的值一定等于()A.以a,b为邻边的平行四边形的面积B.以b,c为邻边的平行四边形的面积C.以a,b为两边的三角形的面积D.以b,c为两边的三角形的面积解析:设a与b的夹角为θ,则|b·c|=|b||c||cos(90°-θ)|=|b||a||sinθ|,则|b·c|的值一定等于以a,b为邻边的平行四边形的面积.答案:A5.导学号03070117已知△ABC的三个顶点A,B,C的坐标分别为(0,1),(,0),(0,-2),O为坐标原点,动点P满足||=1,则||的最小值是()A.4-2B.-1C.+1D.解析:设P(x,y),由||=1可知x2+(y+2)2=1,所以点P的轨迹是以C(0,-2)为圆心,1为半径的圆,又||=的最小值表示点P与点(-,-1)之间的距离的最小值,由点和圆的位置关系可知,||的最小值为-1=-1.答案:B6.点P在平面上做匀速直线运动,速度向量v=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为.解析:设P点坐标为(x,y),则有∴P(10,-5).答案:(10,-5)7.(2015湖北武汉高中联考)已知A(7,1),B(1,4),直线y=ax与线段AB交于点C,且=2,则实数a=.解析:设点C的坐标为(x,y),则=(x-7,y-1),=(1-x,4-y).∵=2,∴解得∴点C的坐标为(3,3).又∵点C在直线y=ax上,∴3=a·3,∴a=2.答案:28.三个力F1,F2,F3同时作用于点O,且处于平衡状态,已知F1与F2的夹角为120°,又|F1|=|F2|=20N,则|F3|=.解析:∵F1+F2+F3=0,∴F3=-(F1+F2),∴|F3|2==202+202+2×20×20cos120°=202,∴|F3|=20N.答案:20N9.导学号03070118设O为△ABC的外心,已知AB=3,AC=4,非零实数x,y满足=x+y,且x+2y=1,求cos∠BAC的值.解:设AC的中点为D,则=x+y=x+2y,∵x+2y=1,∴O,B,D三点共线,由O为△ABC的外心知OD⊥AC,即BD⊥AC,在Rt△ADB中,AB=3,AD=AC=2,所以cos∠BAC=.10.在重300N的物体上系两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30°,60°(如图①所示),求重物平衡时,两根绳子拉力的大小.解:如图②所示,两根绳子的拉力之和,且||=||=300N,∠AOC=30°,∠BOC=60°.在△OAC中,∠ACO=∠BOC=60°,∠AOC=30°,则∠OAC=90°,从而||=||cos30°=150(N),||=||sin30°=150(N),||=||=150N.答:与铅垂线成30°角的绳子的拉力大小是150N,与铅垂线成60°角的绳子的拉力大小是150N.
