2.7向量应用举例自主广场我夯基我达标1.过点A（2，3），且垂直于向量a=（2，1）的直线方程为（）A.2x+y-7=0B.2x+y+7=0C.x-2y+4=0D.x-2y-4=0思路解析：利用轨迹法求直线方程.设所求直线上任一点P（x,y）的坐标，则⊥a，又∵=(x-2,y-3)，∴2(x-2)+(y-3)=0，即所求的直线方程为2x+y-7=0.答案：A2.(全国高考卷Ⅱ，理8)已知点A（，1），B（0，0）,C（，0）.设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有BC=λ,其中λ等于（）A.2B.C.-3D.思路解析：方法一：在△ABC中，AC=1,BC=,AB=2.∴=2，∴BE=2EC.∴||=3||.∴|λ|=3.又∵与方向相反，∴λ＜0.∴λ=-3.方法二：设E(x,0)，则=(,1)，=(x-,-1),=(0,1).∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠BAC.又∵cos〈,〉=,cos〈,〉=,∴=.∴.∴，解得x=.∴E(,0).∴=(,0),=(-,0).∴=-3.∴λ=-3.答案：C3.在△ABC中，∠C=90°，=(k,1),=(2,3),则k的值是（）A.5B.-5C.D.思路解析：由题意，得=-=(2,3)-(k,1)=(2-k,2)，∵∠C=90°，∴⊥.∴·=0.∴2(2-k)+3×2=0.∴k=5.答案：A4.一船从某河一岸驶向另一岸，船速为v1、水速为v2，已知船垂直到达对岸，则（）A.|v1|＜|v2|B.|v1|＞|v2|C.|v1|≤|v2|D.|v1|≥|v2|思路解析：速度是向量，要使船垂直到达对岸，则向量v1在水流方向上的分量与向量v2大小相等，方向相反，由此即得|v1|＞|v2|.答案：B5.(福建高考卷，理11)已知||=1,||=,·=0，点C在∠AOC内，且∠AOC=30°.设=m+n(m,n∈R)，则等于（）A.B.3C.D.思路解析：由已知，不妨设=（1，0），=（0，），=（x0，y0）.∵∠AOC=30°,∴y0=x0.∴=(x0,x0).∴=m+n.∴(x0,x0)=(m,).∴x0=m,x0=.∴=3.答案：B6.(四川高考卷，理7)如图2-7-8所示,已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是（）图2-7-8A.B.C.D.思路解析：设边长||=a，则∠P2P1P3=.||=a,=a·a·=，∠P2P1P4=,||=2a,=a·2a·=a2,=0,＜0,∴数量积中最大的是.答案：A7.(2006东北三校二模，14)已知向量a=(6,2)，b=(-4,)，直线l过点A(3,-1)且与向量a+2b垂直，则直线l的方程为________________________.思路解析：由题意，得a+2b=(-2,3)，则直线l的方程为(-2)(x-3)+3(y+1)=0，即2x-3y-9=0.答案：2x-3y-9=0我综合我发展8.(2005上海春季高考卷，5)在△ABC中，若∠C=90°，AC=BC=4，则·=___________.思路解析：由于AC=BC，∠C=90°，则△ABC是直角三角形,||=，〈，〉=45°.所以·=||||cos〈,〉=×4×cos45°=16.答案：169.已知三个力F1=（3，4），F2=（2，-5），F3=（x，y）的合力F1+F2+F3=0.求F3的坐标.思路分析：把力看成向量，将F1+F2+F3=0变为坐标的形式就可以得到结论.解：由题设F1+F2+F3=0，得（3，4）+（2，-5）+（x，y）=（0，0），即∴∴F3=（-5，1）.10,用向量法证明三角形的三条高线交于一点.思路分析：用向量证明几何问题时，往往要先选择向量基底.我们假设两条高BE、CF交于点H，再证明AH与BC垂直即证明⊥可说明结论成立证明：已知：如图2-7-9所示.AD、BE、CF是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF交于一点.图2-7-9证法一：设两条高BE、CF交于点H,设=a，=b,则-a，-b，=b-a.∵⊥，⊥，∴·=0，·=0.∴（-a）·b=0，（-b）·a=0.∴（-a）·b=（-b）·a.化简得·（b-a）=0，即·=0.∴⊥.∴AH⊥BC,即AD、BE、CF交于一点.证法二：如图2-7-10所示，以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系，设B(c,0),C(m,n),H(m,y).图2-7-10则有=(m-c,y),=(m,n),=(m-c,n)，=(m,y),=(c,0).∵⊥，∴m(m-c)+ny=0.解得y=.∴AH=(m,).∴AH·BC=m(m-c)+n=m(m-c)+mc-m2=0.∴⊥.∴AH⊥BC.故AD、BE、CF交于一点.11.如图2-7-11,有两条相交成60°的直线xx1、yy1,交点为O.甲、乙分别在Ox、Oy1上,起初甲位于离O点3km的A处,乙位于离O点1km的B处.后来两个人同时用每小时4km的速度,甲沿xx1的方向,乙沿yy1的方向运动.问：(1)起初两个人的距离是多少?(2)什么时候两人的距离最近?图2-7-11思路分析：把距离转化为向量的长度，以甲、乙两人t时刻的位置和O三点形成三角形,通过对三角形有关量的求解便可实现解题的目的.解：(1)起初两人分别在A、B两点,则||=3,||=1.∴||2=(+)2=2+2·+2=||2+||2-2||||cos60°=9+1-2×3×1×=7.∴||=km,即起初两人相距千米.(2)设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q，∵=-，∴||2=(-)2=||2-2·+|OP|2=||2+||2-2||||cos〈,〉.当0≤t≤时，||=1-4t,||=3-4t,〈,〉=60°,||2=(3-4t)2+(1-4t)2-2(3-4t)(1-4t)cos60°=48t2-24t+7.当＜t≤时，|=|4t-1,||=3-4t,〈,〉=120°，||2=(4t-1)2+(3-4t)2-2(4t-1)(3-4t)cos120°=48t2-24t+7.当t＞时，||=4t-1,||=4t-3,〈,〉=60°,||2=(4t-1)2+(4t-3)2-2(4t-1)(4t-3)cos60°=48t2-24t+7.综上得||2=48t2-24t+7=48(t-)2+4,t∈［0,+∞).∴当t=，即在第15分钟末时，最短，两人最近，最近距离为2km.
