高中数学 第二章 平面向量 2.7 向量应用举例例题与探究（含解析）北师大版必修4-北师大版高一必修4数学试题VIP免费

2.7向量应用举例典题精讲例1用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.思路分析：把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度，转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.答案：已知：四边形ABCD是平行四边形，求证：||2＋||2=2||2＋2||2.证法一：如图2-7-1所示，设=a,=b，∴=＋=a＋b，=-=b-a.图2-7-1∴||2=（a+b）2=a2+2a·b+b2，||2=（b-a）2=a2-2a·b＋b2.∴||2＋||2=2a2+2b2.又 2||2＋2||2=2||2＋2||2=2a2+2b2，∴||2＋||2=2||2＋2||2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.证法二：如图2-7-2所示，以A为原点，以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.设A（0，0）、D（a，b）、B（c，0），∴=＋图2-7-2=＋=（c,0）+(a，b)=(a+c,b)，=-=-=(a,b)-(c,0)=(a-c,b).∴||2=（c+a）2+b2，||2=（a-c）2+b2.∴||2＋||2=2a2+2c2+2b2.又 2||2＋2||2=2||2＋2||2=2a2+2c2+2b2，∴||2＋||2=2||2＋2||2，即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.绿色通道：1.向量法解决几何问题的步骤：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算（有基向量法和坐标法两种），研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系.这是用向量法解决平面几何问题的“三步曲”.又简称为：一建二算三译；也可说成为：捡便宜（建算译）.2.平面几何经常涉及距离、夹角的问题.而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模及向量的夹角.因此,我们可以用向量方法解答几何问题.在具体问题中,先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素,然后通过向量的运算,特别是数量积来研究点、线段等几何元素之间的关系,最后将结论转化为几何问题.变式训练如图2-7-3所示，AC、BD是梯形ABCD的对角线，BC＞AD，E、F分别为BD、AC的中点.试用向量证明：EF∥BC.图2-7-3思路分析：证明EF∥BC，转化为证明EF∥BC，选择向量基底或建立坐标系均可解决.证法一（基向量法）：设=a，=b，则有=-=b-a. ∥，∴存在实数λ＞1使=λ=λb. E为BD的中点，∴==(b-a）. F为AC的中点，∴=+=+=+(-）=(+）=(-）=(λb-a）.∴=-=(λb-a）-(b-a）=（λ-）b.∴=［（λ-）·］.∴∥.EF∥BC.证法二(坐标法)：如图2-7-4所示，以为x轴，以B为原点建立平面直角坐标系.则B(0,0)，设A（a,b）,D(c,b),C(d,0).图2-7-4∴E()，F().∴=()-()=()，=(d,0). ×0-d×0=0.∴∥.∴EF∥BC.例2如图2-7-5，一艘船从A点出发以km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h，求船的实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）.图2-7-5思路分析：船的实际航行速度是船的速度与水流速度的合速度，用平行四边形法则合成即可.解：如图2-7-5所示，设=a表示船垂直于对岸行驶的速度，=b表示水流的速度，以、为邻边作平行四边形ABCD，则就是船的实际航行速度,即=a+b， |a|=，|b|=2,a·b=0，∴||2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=16，即||=4. ·=（a+b）·b=a·b+b2=4，∴cos〈,〉=.又 0°≤〈,〉≤180°，∴〈,〉=60°,即船的实际航行速度的大小为4km/h，方向与水的流速间的夹角为60°.绿色通道：用向量法解决物理问题的步骤：（类似于用向量方法解决平面几何问题的步骤）①把物理问题中的量用向量来表示；②将物理问题转化为向量问题，通过向量运算解决数学问题；③把结果还原为物理问题.变式训练如图2-7-6所示，用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW=150°，∠BCW=120°,求A和B处所受力的大小.（忽略绳子的质量）思路分析：由于力和重量都是向量，求A和B处所受力的大小转化为求向量的模||和||.A和B处所受力的合力是10N，即物体W的重量，用平行四边形法则解决.图2-7-6解：由题意，得四边形CEWF是矩形，则有+=,⊥|，|=10,∠FCW=60°.∴·=0，∴||2=（+）2=||2+2·+||2.∴||2+||2=100.①又 ·=0，〈，〉=60°，∴·=·（+）=+·=.∴cos〈，〉==.∴||=||=5,||=,即A和B处所受力分别是N和5N.例3（2006湖南高三百校第二次考试卷，文9）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ(+),λ∈［0，+∞),则P的轨迹一定通过△A...