§7向量应用举例课后篇巩固探究1.在四边形ABCD中,=0,,则四边形ABCD是()A.直角梯形B.菱形C.矩形D.正方形解析由=0知.由知BC=AD,且BC∥AD,故四边形ABCD是矩形.答案C2.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,∠B=45°,AB=2CD=2,M为腰BC的中点,则=()A.1B.2C.3D.4解析以A为原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴建立直角坐标系(图略),则A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1),∴中点M的坐标为,∴.∴=2.答案B3.已知两个力F1,F2的夹角为90°,它们的合力大小为20N,合力与F1的夹角为30°,那么F1的大小为()A.10NB.10NC.20ND.10N答案A4.设a,b,c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足a与b不共线,a⊥c,|a|=|c|,则|b·c|的值一定等于()A.以a,b为邻边的平行四边形的面积B.以b,c为邻边的平行四边形的面积C.以a,b为两边的三角形的面积D.以b,c为两边的三角形的面积解析设a与b的夹角为θ,则|b·c|=|b||c||cos(90°-θ)|=|b||a||sinθ|,则|b·c|的值一定等于以a,b为邻边的平行四边形的面积.答案A5.已知△ABC的三个顶点A,B,C的坐标分别为(0,1),(,0),(0,-2),O为坐标原点,动点P满足||=1,则||的最小值是()A.4-2B.-1C.+1D.解析设P(x,y),由||=1可知x2+(y+2)2=1,所以点P的轨迹是以C(0,-2)为圆心,1为半径的圆,又||=的最小值表示点P与点(-,-1)之间的距离的最小值,由点和圆的位置关系可知,||的最小值为-1=-1.答案B6.点P在平面上做匀速直线运动,速度向量v=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为.解析设P点坐标为(x,y),则有∴P(10,-5).答案(10,-5)7.已知A(3,2),B(-1,-1),若点P在线段AB的中垂线上,则x=.解析设AB的中点为M,则M=(x-1,-1),由题意可知=(-4,-3),,则=0,所以-4(x-1)+(-1)×(-3)=0,解得x=.答案8.如图所示,在倾斜角为37°(sin37°=0.6),高为2m的斜面上,质量为5kg的物体m沿斜面下滑,物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍,则斜面对物体m的支持力所做的功为J,重力对物体m所做的功为J(g=9.8m/s2).解析物体m的位移大小为|s|=(m),则支持力对物体m所做的功为W1=F·s=|F||s|cos90°=0(J);重力对物体m所做的功为W2=G·s=|G||s|cos53°=5×9.8××0.6=98(J).答案0989.导学号93774084设O为△ABC的外心,已知AB=3,AC=4,非零实数x,y满足=x+y,且x+2y=1,求cos∠BAC的值.解设AC的中点为D,则=x+y=x+2y,∵x+2y=1,∴O,B,D三点共线,由O为△ABC的外心知OD⊥AC,即BD⊥AC,在Rt△ADB中,AB=3,AD=AC=2,所以cos∠BAC=.10.导学号93774085在重300N的物体上系两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30°,60°(如图①所示),求重物平衡时,两根绳子拉力的大小.解如图②所示,两根绳子的拉力之和,且||=||=300N,∠AOC=30°,∠BOC=60°.在△OAC中,∠ACO=∠BOC=60°,∠AOC=30°,则∠OAC=90°,从而||=||cos30°=150(N),||=||sin30°=150(N),||=||=150N.故与铅垂线成30°角的绳子的拉力大小是150N,与铅垂线成60°角的绳子的拉力大小是150N.
