2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例一、向量在平面几何中的应用1．利用向量研究平面几何问题的思想向量集数与形于一身,既有代数的抽象性又有几何的直观性,因此,用向量解决平面几何问题,就是将几何的证明问题转化为的运算问题,将“证”转化为“算”,思路清晰,便于操作.2．向量在平面几何中常见的应用已知1122(,),(,)xyxyab.（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：∥abab0(0)b（2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：0abab0（其中,ab为非零向量）（3）求夹角问题，若向量a与b的夹角为，利用夹角公式：cos（其中,ab为非零向量）（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：||a，或||||ABAB�（其中,AB两点的坐标分别为3344(,),(,)xyxy）（5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题.3．利用向量解决平面几何问题的步骤（1）建立平面几何与向量之间的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系.这其实也是用向量法解决其他问题的思路，即从条件出发，选取基底，把条件翻译成向量关系式（用基底1表示其他向量），然后通过一系列的向量运算，得到新的向量关系式，则这个新的向量关系式的几何解释就是问题的结论.二、向量在物理中的应用向量是在物理的背景下建立起来的，物理中的一些量，如位移、力、速度（加速度）、功等都与向量有着密切的联系，因此可以利用向量来解决物理中的问题.具体操作时，要注意将物理问题转化为向量关系式，通过向量的运算来解决，最后用来解释物理现象.1．向量与力向量是既有又有的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力的三要素是大小、方向和作用点，所以用向量知识解决力的问题，通常要把向量到同一作用点上.2．向量与速度、加速度及位移速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算.解决速度、加速度和位移等问题时，常用的知识主要是向量的、以及运算，有时也借助于坐标运算来处理.3．向量与功、动量力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的，W||||cos(FsFs为F和s的夹角).动量mv实际上是向量.参考答案：一、1．向量2．（1）1221xyxy（2）1212xxyy（3）||||abab121212122222xxyyxyxy（4）1122xy22223434()()xxyy二、1．大小方向平移2．加法减法数乘3．数量积数乘重点：平面几何中的垂直、长度以及夹角问题.难点：利用向量方法解决其他实际问题.易错：向量应用中对向量关系式表达的向量之间的相互关系判断错误．1.重点——平面几何中的垂直问题2对于线段垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件(向量的数量积为0)，而对于这一条件的应用，可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.【答案】见解析.【解析】方法一设,ADAB�ab，则||||,0abab,又,2DEDAAE�baAFAB�2BF�ab,所以22221311()()||||02224222AFDE�abbbaaabab.故AFDE�，即AF⊥DE.方法二如题图,建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),所以(2,1),(1,2)AFDE�.因为(2,1)(1,2)220AFDE�,所以AFDE�，即AF⊥DE.【归纳总结】用向量法解决平面几何问题,一般来说有两个方向：(1)几何法：选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的向量作为基底),将题中涉及的向量用基底表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算；(2)坐标法：建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.一般地,存在坐标系或易建坐标系的题...
