2.5.1平面几何中的向量方法课后集训基础达标1.在菱形ABCD中，下列关系式不正确的是（）A.∥B.（+）⊥(+)C.（-）·(-)=0D.·=·解析：A正确；B、C正确，因为菱形两对角线互相垂直；D不正确，因为、夹角与、夹角互补.答案：D2.已知A（2，1）、B（3，2）、C（-1，4），则△ABC是（）A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形解析：=（1，1），=（-3，3）.∵·=0，∴AB⊥AC.∴△ABC为直角三角形.答案：C3.在四边形ABCD中，若=，且||=||+1，·=0，则四边形ABCD是（）A.矩形B.菱形C.梯形D.正方形解析：由=得四边形为平行四边形，又因为·=0，所以AB⊥BC，且||≠||,所以选A.答案：A4.已知ABCD的顶点B（1，1），C（4，2），D（5，4）,则顶点A的坐标为（）A.（2，3）B.（3，3）C.（3，4）D.（1，3）解析：设A（x,y）,则=,即（1-x,1-y）=(-1,-2),∴∴答案：A5.在△ABC中，若（+）·（-）=0，则△ABC为（）A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.无法确定解析：由条件得（+）·=0，由平行四边形法则，取AB中点D，则+=2，∴⊥,∴△ABC为等腰三角形.答案：C6.如右图，在△ABC中，若||=4，||=5.||=,则∠A=______________.解析：∵=-,∴,即||2=||2-2||||cos∠A+||2.∴cos∠A==.∴∠A=60°.答案：60°综合运用7.在矩形ABCD中，=，=，设=（a,0）,=(0,b),当⊥时，求得的值为（）A.B.C.2D.3解析：由条件可得=+=+=+=（）,=-=-=（，-b）.∵⊥,∴·==0,∴=.答案：A8.O为空间中一定点，动点P在A、B、C三点确定的平面内且满足（-）·（-）=0，则点P一定在过△ABC的__________的直线上（）A.外心B.内心C.重心D.垂心解析：由条件⊥，∴P在CB的高线上，故选D.答案：D9.(2005湖南文，9)P是△ABC所在平面上一点，若·=·=·，则P是△ABC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心解析：由·=·得（-）·=0，即·=0，∴P在CA的高线上，同理可得P也在AB的高线上，故P为△ABC的垂心.答案：D拓展探究10.已知△ABC的面积为14cm2,D、F分别为边AB、BC上的点，且AD∶DB=BE∶EC=2∶1，求△APC的面积.思路分析：考查灵活利用平面向量基本定理和向量共线的等价条件.可用基本定理和共线条件求出点P的位置后用比例关系计算面积，也可用坐标工具来进行上述运算.解析：如右图，设=a，=b为一组基底，则=a+b，=a+b.∵点A、P、E和D、P、C分别共线，∴存在λ和μ，使=λ=λa+λb，=μ=μa+μb.又∵=+=(+μ)a+μb,∴解得于是，△PAB的面积=14×=8（cm2）,△PBC的面积=14×（1-）=2（cm2）.故△APC的面积=14-8-2=4（cm2）.备选习题11.设I是△ABC的内心，当AB=AC=5，且BC=6时，=λ+μ，则λ=_____________,μ=_____________.解析：如右图所示，设AI交BC于D点.∵AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，∴D为BC的中点，∴AD⊥BC,以BC为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，4），B（-3，0），C（3，0），设I（0，y）则=（3，4），BI=（3，y），=（3，0），由∠ABI=∠IBD得.代入坐标解得y=,∴=(0,-).由条件(0,)=λ(-3,-4)+μ(6,0),∴λ=,μ=.答案：12.证明正方形的对角线互相垂直平分.证明：如右图，设一组基底=a，=b，则=a+b.=a-b,∵·=(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0，∴⊥,即BD⊥AC.设AC与BD交于O点，∵与共线，∴=λ=λ（a+b）,①又∵与共线，∴=μ=μ（a-b）,∵在△BOC中=+.=b+μa-μb=μa+(1-μ)b②由①②得：解得λ==μ.∴AC与BD互相平分.综上，正方形的对角线垂直且互相平分.13.利用平面向量证明：顺次连结菱形四边中点的四边形是矩形.证明：如右图，设E、F、G、H分别是菱形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，则=+=（+）=，=+=（+）=.∴=,∴EFHG,故有EFGH.①∵=+=（+）=（-），∴·=（+）（-）=（||2-||2）=0，∴⊥.②由①②知，EFGH是矩形.14.经过△OAB重心G的直线与OA、OB分别交于P、Q两点，若=m，=n，求证：=3.证明：∵如右图所示，点G是△OAB的重心，∴=(+)∴=-=(+)-m=(-m)+,由于P、G、Q三点共线，则存在实数λ,使=λ=λ［（-m）+］又∵=-=n-m即n-m=λ［（-m）+］=λ（-m）+λ，∴消去λ，得15.已知ABCD是边长为6的正方形，E为AB的中点，点F在边BC上，且BF∶FC=2∶1，AF与EC相交于点P.求四边形APCD的面积.解：建如右图坐标系,则有A（0,0）,B(6,0),C(6,6),D(0,6).∴F(6,4),E(3,0).设P（x,y）则有=（x,y）,=(6,4),=(x-3,y),=(3,6),由∥，∥,得解得∴S=AD·x+CD·(6-y)=.∴四边形的面积为.
