高中数学 第二章 平面向量 2.5 从力做的功到向量的数量积自主训练 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学试题VIP免费

2.5从力做的功到向量的数量积自主广场我夯基我达标1．给出下列等式：①a·0=0；②0·a=0；③0-AB=BA；④|a·b|=|a||b|；⑤若a≠0，则对任一非零向量b有a·b≠0；⑥a·b=0，则a与b中至少有一个为0；⑦a与b是两个单位向量，则a2=b2.以上成立的是（）A.①②③⑥⑦B.③④⑦C.②③④⑤D.③⑦思路解析：按照定义、性质、运算律作答即可.对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有a·0=0，故①错；对于②：应有a·0=0，故②错；对于③：很明显正确；对于④：由数量积定义，有|a·b|=|a||b||cosθ|≤|a||b|，这里θ是a与b的夹角，只有θ=0或θ=π时，才有|a·b|=|a||b|，故④错；对于⑤：若非零向量a、b垂直，有a·b=0，故⑤错；对于⑥：由a·b=0可知a⊥b，即可以都非零，故⑥错；对于⑦：a2-b2=|a|2-|b|2=1-1=0，故⑦正确.答案：D2．（北京高考卷，理3）若|a|=1，|b|=2，c=a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°思路解析：要求a与b的夹角，根据夹角公式需先求夹角的余弦值，再结合夹角的范围确定其值.设a与b的夹角为θ. c⊥a，∴c·a=0.∴（a＋b）·a=0.∴|a|2+b·a=0.∴b·a=-1.∴cosθ=21||||baba.又 0°≤θ≤180°，∴θ=120°.答案：C3．已知△ABC中，AB=a，AC=b，当a·b＜0和a·b=0时，△ABC的形状分别是（）A.钝角三角形，直角三角形B.锐角三角形，直角三角形C.锐角三角形，钝角三角形D.锐角三角形，斜三角形思路解析：由a·b＜0可知a与b的夹角为钝角，即∠A是钝角；当a·b=0时，可知a与b的夹角为直角，即△ABC是直角三角形.答案：A4．（辽宁高考卷，理12）设O（0，0）,A（1，0）,B（0，1）,点P是线段AB上的一个动点,AP=λAB,若OP·AB≥PA·PB,则实数λ的取值范围是（）A.21≤λ≤1B.122≤λ≤11C.21≤λ≤1+22D.122≤λ≤1+22思路解析：由题意得AP=λABOP=(1-λ)OA+λOB=(1-λ,λ)，PB=AB-AP=(1-λ)AB=(λ-1,1-λ),AP=λAB=（-λ,λ）,又 OP·AB≥PA·PB，∴(1-λ,λ)·(-1,1)≥（λ,-λ)·(λ-1,1-λ).∴2λ2-4λ+1≤0.∴122≤λ≤1+22.因点P是线段AB上的一个动点,所以0≤λ≤1,即满足条件的实数λ的取值范围是122≤λ≤1.答案：B5．（湖南高考卷，理,5）已知|a|=2|b|≠0且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b的夹角的取值范围是（）A.［0，6］B.［3，π］C.［3,32］D.［6，π］思路解析： |a|=2|b|≠0，且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根，∴|a|2-4a·b≥0.∴a·b≤41|a|2=|b|2.∴cos〈a,b〉=222||2||||2||||bbbbababa=21，∴θ∈［3,π］.答案：B6.已知e为单位向量，|a|=4，a与e的夹角为32，则a在e方向上的投影为______________.思路解析：由向量在另一方向上投影的定义解答此题.投影为||eea=|a|·cos32=－2.答案：－27.已知|a|=10，|b|=12，a与b的夹角为120°，求：（1）a·b；（2）（3a）·（51b）；（3）（3b－2a）·（4a+b）.思路分析：第（1）题直接由定义可得，（2）和（3）则利用向量数量积的运算律计算.解：（1）a·b=|a||b|cosθ=10×12×cos120°=-60.（2）（3a）·（51b）=53（a·b）=53×（-60）=-36.（3）（3b－2a）·（4a+b）=12b·a+3b2-8a2-2a·b=10a·b+3|b|2-8|a|2=10×（-60）+3×122-8×102=-968.我综合我发展28.已知向量OA=a，OB=b，∠AOB=60°，且|a|=|b|=4.(1)求|a+b|,|a-b|；(2)求a+b与a的夹角；a-b与a的夹角.思路分析：本题可以直接利用长度公式和夹角公式求解；也可利用已知条件画出图形，数形结合.解法一：（1）|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=|a|2+2|a||b|cos60°+|b|2=42+2×4×4cos60°+42=16+16+16=48,∴|a+b|=43.|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=|a|2-2|a||b|cos60°+|b|2=42-2×4×4cos60°+42=16-16+16=16,∴|a-b|=4.(2)记a+b与a的夹角为α，a-b与a的夹角为β.则cosα=2343460cos444||||||||)(22abaabaabaaba，∴α=30°.cosβ=,214460cos444||||||||)(22abaabaabaaba∴β=60°.解法二：如图2-5-8所示，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB.图2-5-8 |a|=|b|=4，∴四边形OACB为菱形.(1)a+b=OA+OB=OC，a-b=OBOA=BA...