2.5从力做的功到向量的数量积课后导练基础达标1.若a、b、c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是()A.（a+b）+c=a+（b+c）B.（a+b）·c=a·c+b·cC.m（a+b）=ma+mbD.（a·b）c=a（b·c）解析:由向量的运算律知选项D不一定成立.答案：D2.设a、b、c是任意的非零向量，且相互不共线，则①（a·b）c-（c·a）b=0；②a2=|a|2；③（b·c）a-（c·a）b不与c垂直；④（3a+2b）·（3a-2b）=9|a|2-4|b|2中，正确的有()A.①②B.②③C.③④D.②④解析：①中，a·b的运算结果为数，故（a·b）c为一向量，同理（a·c）b也是一向量，向量之差为向量.故①不正确.由数量积的性质知②正确.又［（b·c）a-（c·a）b］·c=（b·c）（a·c）-（c·a）（b·）=0，而（a·c）b与（b·c）a不可能同时为零向量.故③不正确，④正确.答案：D3.在边长为1的正三角形ABC中，设=c，=a,=b,则a·b+b·c+c·a等于（）A.1.5B.-1.5C.0.5D.-0.5解析：在正三角形ABC中，a·b=|a|·|b|cos60°=0.5,b·c=|b|·|c|cos60°=0.5,a·c=|a|·|c|cos120°=-0.5,答案：C4.(2004重庆高考，6)若向量a与b的夹角为60°，|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则向量a的模是()A.2B.4C.6D.12解析：（a+2b）·(a-3b)=|a|2-a·b-6|b|2=-72∴|a|2-|a|·|b|·cos60°-6|b|2=-72∴|b|=4代入上式，解得：|a|=6(∵|a|＞0).答案：C5.△ABC中，=a,=b,若a·b＜0,则△ABC形状为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能判断解析：由a·b＜0,知cos〈a,b〉＜0,所以〈a,b〉＞,所以∠ABC为锐角.三角形中，∠ABC为锐角，并不能判断三角形形状，所以选D.答案：D6.比较大小|a·b|___________|a|·|b|.解析：a·b=|a||b|cosθ,∴|a·b|=|a||b||cosθ|≤|a|·|b|.答案：≤7.已知e为单位向量，|a|=4，a与e的夹角为，则a在e方向上的投影为________.解析:由向量在另一方向上投影的定义解答此题.投影为=|a|·cos=-2.答案：-28.利用向量证明：菱形的两条对角线互相垂直.证明:设=a,=b,则|a|=|b|.∵=a+b,=a-b,∴·=(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0.∴⊥.∴AC⊥BD.9.已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为,求（1）a·b;(2)a2;(3)|a+b|.解析：(1)a·b=|a||b|cos=6×4×=.(2)a2=a·a=|a|2=62=36.(3)|a+b|=.10.已知平面上三个向量a、b、c的模为1，它们相互间的夹角均为120°.（1）求证：（a-b）⊥c；（2）若|ka+b+c|=1（k∈R），求k的值.（1）证明：∵（a-b）·c=a·c-b·c=|a||c|·cos120°-|b||c|cos120°，又|a|=|b|=|c|，∴（a-b）·c=0，即（a-b）⊥c.（2）解析：由|ka+b+c|=1，得|ka+b+c|2=12，即（ka+b+c）2=1，∴k2a2+b2+c2+2b·c+2ka·b+2ka·c=1.又a·b=a·c=b·c=-，∴k2-2k=0.解得k=2或0.综合运用11.已知△ABC满足2=·+·+，则△ABC是()A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形解析：∵·+·=·（-）=2，∴=0.∴⊥,即AC⊥BC.∴△ABC为直角三角形.答案：C12.若a、b是不共线的两向量，且=λ1a+b，=a+λ2b（λ1、λ2∈R），已知A、B、C三点共线，则()A.λ1=λ2=-1B.λ1=λ2=1C.λ1λ2+1=0D.λ1λ2-1=0解析:可用待定系数法，用共线向量定理建立待定系数的方程.∵A、B、C三点共线，∴存在实数k,使得=k，即λ1a+b=ka+λ2kb.又a、b不共线，∴.消去k得λ1λ2-1=0.答案：D13.若|a|=m(m＞0),b=λa(λ＞0),则a·b=_______;若|a|=m(m＞0),b=λa(λ＜0),则a·b=________.解析：∵b=λa(λ＞0),∴〈a·b〉=0,∴a·b=λm2.当b=λa(λ＜0)时，〈a·b〉=π,∴a·b=-λm2.答案：λm2-λm214.已知|a|=2,|b|=,a与b的夹角为45°，要使λb-a与a垂直，则λ=________.解析：若λb-a与a垂直，则(λb-a)·a=0,即λb·a-a2=0,∴λ|b|·|a|·cos45°-|a|2=0,∴λ××2×-22=0,∴λ=2.答案：215.求证：直径上的圆周角为直角.证明：如右图，设=a,=b,有=a.∵=a+b,=a-b且|a|=|b|,∴·=(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0.∴⊥.∴∠ABC=90°.拓展探究16.设a与b是两个互相垂直的单位向量，问当k为整数时，向量m=ka+b与向量n=a+kb的夹角能否等于60°，证明你的结论.解析：假设夹角等于60°，∵|m|2=|ka+b|2=(ka+b)2=k2+1,|n|2=|a+kb|2=(a+kb)2=k2+1.m·n=(ka+b)·(a+kb)=2k,∴2k=×cos60°,即4k=k2+1,解得k=2±这与k为整数矛盾.∴m与n的夹角不能等于60°.
