§5从力做的功到向量的数量积A组1.若向量a,b满足|a|=3,a·b=-5,那么b在a方向上的射影等于()A.15B.-C.-D.-15解析:b在a方向上的射影为|b|cosθ==-.答案:C2.已知|m|=2,|n|=1,且(m+kn)⊥(m-3n),m⊥n,则k等于()A.B.C.-D.-解析:由m⊥n得m·n=0,由(m+kn)⊥(m-3n)得(m+kn)·(m-3n)=0,即|m|2-3k|n|2=0,∴3k==4,∴k=.答案:A3.在四边形ABCD中,,且=0,则四边形ABCD是()A.矩形B.菱形C.直角梯形D.等腰梯形解析:由知四边形ABCD是平行四边形,由=0知AC⊥BD,即对角线垂直,所以四边形ABCD是菱形.答案:B4.(2016北京海淀高三质检)若向量a与b不共线,a·b≠0,且c=a-b,则向量a与c的夹角为()A.0B.C.D.解析:∵c=a-b,∴a·c=a·a-·a·b=0,∴a与c的夹角为.答案:D5.如图,已知点O是边长为1的等边三角形ABC的中心,则()·()等于()A.B.-C.D.-解析:∵点O是边长为1的等边三角形ABC的中心,∴||=||=||=,∠AOB=∠BOC=∠AOC=,∴()·()=+3cos=-.答案:D6.在△ABC中,AB=6,O为△ABC的外心,则等于()A.B.6C.12D.18解析:如图,过点O作OD⊥AB于D,易知AD=AB=3,则=()·=3×6+0=18,故选D.答案:D7.已知|a|2=1,|b|2=2,(a-b)·a=0,则a与b的夹角为.解析:设a与b的夹角为θ,由已知得a2=a·b,又|a|=1,|b|=,∴1·cosθ=1.∴cosθ=.又θ∈[0°,180°],∴θ=45°.答案:45°8.在△ABC中,已知||=||=4,且=8,则△ABC的形状为.解析:由=8,得16×cosA=8,即cosA=,∠A=60°,又AB=AC,所以△ABC是等边三角形.答案:等边三角形9.若|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则|a+3b|=.解析:∵|a+3b|2=a2+2a·3b+9b2=1+6×1×2×cos60°+9×4=43,∴|a+3b|=.答案:10.导学号03070101已知|a|=4,|b|=5,|a+b|=,求值:(1)a·b;(2)(2a+b)·(a-2b);(3)|2a-3b|.解:(1)∵|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2,∴a·b=×(|a+b|2-|a|2-|b|2)=×(21-42-52)=-10.(2)(2a+b)·(a-2b)=2a2-3a·b-2b2=2|a|2-3a·b-2|b|2=2×42-3×(-10)-2×52=12.(3)|2a-3b|=.11.导学号03070102已知|a|=1,|b|=,设a与b的夹角为θ.(1)若θ=,求|a+b|;(2)若a与a-b垂直,求θ.解:(1)|a+b|==.(2)由题意得,a·(a-b)=0,∴a2=a·b=|a||b|cosθ,∴cosθ=.∵θ∈[0,π],∴θ=.B组1.若=0,则△ABC为()A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.等腰直角三角形解析:∵=0,∴=0,∴·()=0,∴=0,∴,∴∠A=90°,∴△ABC为直角三角形.答案:A2.在△OAB中,已知OA=4,OB=2,点P是AB的垂直平分线l上的任意一点,则=()A.6B.-6C.12D.-12解析:如图,设AB的中点为M,则=()·)·()=)=-6.答案:B3.下列四个命题:①若a-b=0,则a=b;②若a·b=0,则a=0或b=0;③若λ∈R且λa=0,则λ=0或a=0;④对任意两个单位向量e1,e2,都有e1·e2≤1.其中正确的命题是()A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④解析:①是正确的;因为a·b=|a||b|cosθ=0⇒|a|=0或|b|=0或cosθ=0⇒a=0或b=0或θ=90°,故②是错误的;③是正确的;④中,e1·e2=|e1|·|e2|cosθ=cosθ≤1,故④是正确的.答案:C4.设a,b是非零向量,x∈R,若函数f(x)=(xa+b)·(a-xb)的图像是一条直线,则必有()A.a⊥bB.a∥bC.|a|=|b|D.|a|≠|b|解析:f(x)=-a·bx2+(a2-b2)x+a·b.∵f(x)的图像是一条直线,∴a·b=0,a⊥b.答案:A5.导学号03070103在矩形ABCD中,AB=,BC=4,点E为BC的中点,点F在CD上,若,则的值是()A.-5-B.5+C.4+D.5-解析:如图所示,过点F作FG∥AD交AB于点G,易知=||·||·cos<>=||·||=,故||==1,所以=()·()==0-×(-1)+2×4+0=5+,故选B.答案:B6.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,CB=4,设=b,=a,=c,则a·b+b·c+c·a的值为.解析:由勾股定理得BA=5,又cosB=,cosA=,故a·b+b·c+c·a=0+3×5×+4×5×=-25.答案:-257.导学号03070104(2015辽宁五校上学期期中)平面上三个向量满足||=1,||=,||=1,=0,则的最大值是.解析:=()·()=-()·=1-||·||cosθ=1-2cosθ,其中θ为向量的夹角,当θ=π时,取得最大值3.答案:38.已知向量a,b的夹角为30°,且|a|=,|b|=1,求向量p=a+b与q=a-b夹角的余弦值.解:p·q=(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=3-1=2.∵|p|=|a+b|==,|q|=|a-b|===1,设p与q的夹角为θ,∴cosθ=.9.证明:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.证明:设平行四边形为ABCD,则=()2=+2.①由于,所以,=()2=-2.②由①+②,得=2()=.即平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.
