2.5从力做的功到向量的数量积典题精讲例1若|a|=1，|b|=，(a-b)⊥a，则向量a与b的夹角为（）A.30°B.45°C.90°D.135°思路解析：设a与b的夹角为θ，∵（a-b）·a=0.∴|a|2-b·a=0.∴b·a=1.∴cosθ==.又∵0°≤θ≤180°，∴θ=45°.答案：B绿色通道：求向量a与b的夹角的步骤：（1）计算b·a，|a|，|b|；（2）计算cos〈a，b〉；（3）根据范围确定夹角的大小.变式训练1已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.思路分析：求a与b的夹角余弦值，只要求出a·b与|a|、|b|即可.解：∵（a+3b）⊥（7a－5b）,∴（a+3b）·（7a－5b）=0.∴7a2+16a·b－15b2=0.①又∵（a－4b）⊥（7a－2b）,∴（a－4b）·（7a－2b）=0.∴7a2－30a·b+8b2=0.②①－②得46a·b=23b2，即有a·b=b2=|b|2.代入①式，得7|a|2+8|b|2－15|b|2=0，故有|a|2=|b|2，即|a|=|b|.∴cos〈a，b〉=.又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉=60°，即a与b的夹角为60°.变式训练2已知△ABC中，a=5，b=8，·=-20，试求C.有个同学求解如下：解：如图2-5-4，∵||=a=5，||=b=8，图2-5-4∴cos∠C=.又∵0°≤∠C≤180°，∴∠C=120°.这位同学的解答正确吗？如果你是他的数学老师，你会给他写什么批语？思路解析：这位同学的解答不正确，其原因就在于没能正确理解向量夹角的定义.由于BC与两向量的起点并不同，故∠C≠〈，〉,而是∠C＋〈,〉=180°，则cos〈,〉=.又∵0°≤〈,〉≤180°，∴〈,〉=120°.∴∠C=60°.所以这位同学的解答不正确，∠C=60°；批语是：如果你再理解了向量夹角的定义，那么这道题就能做对了，请你再试试吧.例2已知向量a、b不共线，且|2a+b|=|a+2b|，求证：（a+b）⊥（a－b）.思路分析：可以证明（a+b）与（a－b）垂直，转化为证明（a+b）与（a－b）的数量积为零.也可以利用向量线性运算的几何意义来证明.证法一：∵|2a+b|=|a+2b|，∴（2a+b)2=（a+2b)2.∴4a2+4a·b+b2=a2+4a·b+4b2.∴a2=b2.∴（a+b）·（a－b）=a2－b2=0.又a与b不共线，a+b≠0，a－b≠0，∴（a+b）⊥（a－b）.证法二：如图2-5-5所示，在平行四边形OCED中，设=a，=b,A、B、N、M分别是OC、OD、DE、EC的中点.图2-5-5则有2a+b=+=+=，a+2b=+=+=,a+b=,a-b==.∵|2a+b|=|a+2b|，∴||=||.∴△OMN是等腰三角形.可证F是MN的中点.∴⊥.∴⊥.∴⊥.∴（a+b）⊥（a－b）.绿色通道：证明向量垂直的两种方法：①应用化归思想，转化为证明这两个向量的数量积为0.②应用向量加减法的几何意义来证明.变式训练向量a、b均为非零向量，且|a|=|b|，求证：(a-b)⊥(a＋b）.思路分析：转化为证明向量(a-b)和(a＋b)的数量积为0；或应用向量加减法的几何意义来证明.证法一：如图2-5-6所示，在平行四边形OACB中,图2-5-6设=a,=b,则a-b=，a+b=，∴||=||.∴四边形OAＣB是菱形.∴OC⊥BA.∴⊥，即(a-b)⊥(a＋b）.证法二：∵|a|=|b|，∴(a-b)·(a＋b）=a2-b2=|a|2-|b|2=0.∵a、b均为非零向量,∴a-b≠0，a＋b≠0.∴(a-b)⊥(a＋b）.问题探究问题（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，化简||2+||2-2||·||cos〈,〉；（2）在等边△ABC中，化简||2+||2-2||·||cos〈,〉；（3）由（1）和（2）你发现了什么结论，并加以证明.导思:归纳、猜想、证明是人类认识世界和发现世界的主要手段，观察式子的结构特点，结合向量的数量积便可发现结论.探究：（1）∵∠BAC=90°，∴cos〈,〉=0.∴||2+||2-2||||cos〈,〉=||2+||2=||2.(2)∵||2=||2=||2,〈,〉=60°，∴||2+||2-2||||cos〈,〉=||2+||2-||2=||2=||2.(3)可发现如下结论：在△ABC中，有||2+||2-2||||cos〈,〉=||2；||2+||2-2||||cos〈,〉=||2；||2+||2-2||||cos〈,〉=||2.可以用语言叙述：三角形任一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.此结论称为余弦定理.证明：如图2-5-7，在△ABC中，有-=,图2-5-7∴(-)2=.∴+-2·=,即||2+||2-2||||cos〈,〉=||2.同理可证：||2+||2-2||||cos〈,〉=||2;||2+||2-2||||cos〈,〉=||2.
