课时分层作业(二十二)(建议用时：60分钟)一、选择题1．已知向量a＝(1,2)，b＝(3，－4)，则a在b上的投影为()A.B．－C．1D．－1D[向量a＝(1,2)，b＝(3，－4)，则a在b上的投影为：＝＝－1，故选D.]2．已知向量a＝(－1,1)，b＝(－2，y)，且a∥b，则|a＋b|的值为()A.B．5C．3D．18C[ a∥b，∴y＝2，∴b＝(－2,2)，a＋b＝(－3,3)，∴|a＋b|＝3.故选C.]3．a＝(－4,3)，b＝(5,6)，则3|a|2－4a·b等于()A．23B．57C．63D．83D[因为|a|2＝(－4)2＋32＝25，a·b＝(－4)×5＋3×6＝－2，所以3|a|2－4a·b＝3×25－4×(－2)＝83.]4．设向量a与b的夹角为θ，a＝(2,1)，a＋3b＝(5,4)，则sinθ等于()A.B.C.D.A[设b＝(x，y)，则a＋3b＝(2＋3x,1＋3y)＝(5,4)，所以解得即b＝(1,1)，所以cosθ＝＝，所以sinθ＝＝.]5．已知向量a＝(1，－1)，b＝(1,2)，向量c满足(c＋b)⊥a，(c－a)∥b，则c等于()A．(2,1)B．(1,0)C.D．(0，－1)A[设向量c＝(x，y)，则c＋b＝(x＋1，y＋2)，c－a＝(x－1，y＋1)，因为(c＋b)⊥a，所以(c＋b)·a＝x＋1－(y＋2)＝x－y－1＝0，因为(c－a)∥b，所以＝，即2x－y－3＝0.由解得所以c＝(2,1)．]二、填空题6．已知向量a＝(－1，x)，b＝(x＋2，x)，若|a＋b|＝|a－b|，则x＝________.－1或2[已知向量a＝(－1，x)，b＝(x＋2，x)，因为|a＋b|＝|a－b|，两边平方得到a·b＝0，根据向量的坐标运算公式得到：x2－x－2＝0⇒x＝－1或2，故答案为：－1或2.]7．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，则k的值为________．19[ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．又ka＋b与a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0，即(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0，得k＝19.]8．如图，在2×4的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，则向量a＋b，a－b的夹角余弦值是________．－[不妨设每个小正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝(2，－1)，b＝(3,2)，所以a＋b＝(5,1)，a－b＝(－1，－3)，所以(a＋b)·(a－b)＝－5－3＝－8，|a＋b|＝，|a－b|＝，所以向量a＋b，a－b的夹角余弦值为＝－.]三、解答题9．已知向量a，b满足|a|＝，b＝(1，－3)，且(2a＋b)⊥b.(1)求向量a的坐标．(2)求向量a与b的夹角．[解](1)设a＝(x，y)，因为|a|＝，则＝，①又因为b＝(1，－3)，且(2a＋b)⊥b，2a＋b＝2(x，y)＋(1，－3)＝(2x＋1,2y－3)，所以(2x＋1,2y－3)·(1，－3)＝2x＋1＋(2y－3)×(－3)＝0，即x－3y＋5＝0，②由①②解得或所以a＝(1,2)或a＝(－2,1)．(2)设向量a与b的夹角为θ，所以cosθ＝＝＝－或cosθ＝＝＝－，因为0≤θ≤π，所以向量a与b的夹角θ＝.10．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.[解](1) a⊥b，∴a·b＝0，即1×(2x＋3)＋x×(－x)＝0，解得x＝－1或x＝3.(2) a∥b，∴1×(－x)－x(2x＋3)＝0，解得x＝0或x＝－2.又|a－b|＝＝，∴|a－b|＝2或2.1．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是()A．λ＞1B．λ＜1C．λ＜－1D．λ＜－1或－1＜λ＜1D[由题意可得：a·b＝λ－1＜0，解得：λ＜1，且a与b的夹角不能为180°，即≠，∴λ≠－1，据此可得：λ的取值范围是λ＜－1或－1＜λ＜1.]2．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|PA＋3PB|的最小值为()A．3B．5C．7D．8B[如图，以D为原点，DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x，则A(2,0)，B(1，a)，C(0，a)，D(0,0)，P(0，x)(0≤x≤a)，则PA＋3PB＝(2，－x)＋3(1，a－x)＝(5,3a－4x)，所以|PA＋3PB|＝≥5.]3．如图所示，已知点A(1,1)，单位圆上半部分上的点B满足OA·OB＝0，则向量OB的坐标为________．[根据题意可设B(cosθ，sinθ)(0＜θ＜π)，OA＝(1,1)，OB＝(cosθ，sinθ)．由OA·OB＝0得sinθ＋cosθ＝0，tanθ＝－1，所以θ＝，cos＝－，sin＝，所以OB＝.]4．已知向量OA＝(2,2)，OB＝(4,1)，在x轴上存在一点P使AP·BP有最小值，则点P的坐标是________．(3,0)[设点P的坐标是(x,0)，则AP＝(x－2，－2)，BP＝(x－4，－1)，所以AP·BP＝(x－2)(x－4)...
