2.3从速度的倍数到数乘向量2.3.1数乘向量5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.下列等式中不正确的是()A.++=0B.-=C.0·=0D.λ（μa）=λμa解析：选项A说明首尾相连的向量之和为0，还可推广到n个向量首尾相连.对零向量的运算有明确规定，另外运算律也要熟练掌握.0·≠0.答案：C2.化简：（1）5（3a-2b）+4（2b-3a）；（2）6（a-3b+c）-4（-a+b-c）；（3）（x-y）（a+b）-（x-y）（a-b）；（4）（a+2b）+（3a-2b）-（a-b）.解：（1）5（3a-2b）+4（2b-3a）=15a-10b+8b-12a=3a-2b；（2）6（a-3b+c）-4（-a+b-c）=6a-18b+6c+4a-4b+4c=10a-22b+10c；（3）（x-y）（a+b）-（x-y）（a-b）=xa+xb-ya-yb-xa+xb+ya-yb=2（x-y）b；（4）（a+2b）+（3a-2b）-（a-b）=（）a+（）b=a+b.3.已知两个非零向量a、b，试作=a+b，=a+2b，=a+3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？解：分别作向量、、，过点A、C作直线AC，观察发现，不论向量a、b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A、B、C三点共线.事实上，因为=-=a+3b-（a+2b）=b，而=-=a+3b-（a+b）=2b，于是=2，所以，A、B、C三点共线.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知菱形的两邻边=a，=b，其对角线交点为D，则等于()A.a+bB.a+bC.(a+b)D.a+b解析：由平行四边形法则及平行四边形的性质可得出答案.答案：C2.已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括A、C点），则等于()A.λ（+），λ∈（0，1）B.λ（+），λ∈（0，）C.λ（-），λ∈（0，1）D.λ（-），λ∈（0，）解析：由题意，知=+，又点P在AC上，故存在实数λ∈（0，1）使=λ.答案：A3.若3m+2n=a，m-3n=b，其中a、b是已知向量，求m、n.解：3m+2n=a，①m-3n=b，②3×②,得3m-9n=3b.③①-③,得11n=a-3b.∴n=.④将④代入②得m=b+3n=.4.在平行四边形ABCD中，=a，=b，求、.解法一：利用平行四边形的性质得==a，==b.∵=+=-，∴=a-b.又∵=+，=，∴=a+b.解法二：将、视为未知量，由向量的加法、减法得：+=，-=.两式相加得2=+，∴=+=a+b.两式相减得2=-，∴=-=a-b.5.用向量方法证明：三角形两边中点连线平行于第三边，且其长度等于第三边长度的一半.证明：如图，已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点.求证：DE∥BC，且DE=.∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴=，=.∴=-=（-）=.又D不在BC上，∴DE∥BC，且DE=.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.已知正方形ABCD的边长为1，=a，=b，=c，则a+b+c的模等于()A.0B.3C.D.解析：由四边形ABCD为正方形，可知+=，即a+b=c，所以a+b+c=2c.又||=，故a+b+c的模为.答案：C2.已知||=||=1且向量与不共线，则与∠BAC的平分线共线的向量是()A.B.+C.-D.解析：由||=||=1且与不共线，可知以AB、AC为边的平行四边形为菱形，由菱形的性质和向量加法的平行四边形法则可解此题.分析知选B.答案：B3.已知△ABC中，点D在BC边上，且=2，=r+s，则r+s的值是()A.B.C.-3D.0解析：∵=2，∴==r+s.又++=0，∴--=0，即-r-s-=0.∴（1-r）-（s+1）=0，即答案：D4.已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P，若++=，则点P与△ABC的关系为()A.P在△ABC的内部B.P在△ABC的外部C.P在AB边或其延长线上D.P在AC边上且是AC的一个三等分点解析：由++=，得++=-，即2=-.∴=2.由向量的数乘的几何意义知选D.答案：D5.如图2-3-1，在△ABC中，BD=DC，AE=3ED，若=a，=b，则等于()图2-3-1A.b+aB.b-aC.b+aD.b-a解析：=-=-=（+）-=+××=+（-）=-=b-a.答案：B6.已知a与b是不共线向量，实数x、y满足3xa+（10-y）b=2xb+（4y+7）a，则x+y=_____________.解析：∵a、b不共线且3xa+（10-y）b=2xb+（4y+7）a，∴3x=4y+7，10-y=2x.解得x=.故x+y=.答案：7.在平行四边形ABCD中，设对角线=a，=b，试用a、b表示、.解法一：设AC、BD交于点O，则===a，同理，=b.∴=+=-=a-b.同理，=a+b.解法二：设=x，=y，那么+=，-=，即a=x+y，b=y-x.∴x=（a-b），y=（a+b），即=a-b，=a+b.8.若O、A、B三点不共线，已知=m+n，m、n∈R，且m+n=1，那么点P的位置如何?请说明理由.解：由已知=m+n=m+（1-m）=+m（-），∴-=m（-），即=m.∴与共线，即点P在直线上.说明：由此题可猜想，P、A、B三点共线的充要条件是：存在实数λ、μ使=λ+μ，且λ+μ=1.9.如图2-3-2，D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，且=a，=b.求证：（1）=a-b；（2）=a+b；(3)=；(4)++=0.图2-3-2证明：（1）=+=-b-a.(2)=+=a+b.(3)=+=+=b+(+)=b+(-b-a)=a+b.(4)++=a-ba+b+a+b=0.
