正、余弦定理的综合应用A级基础巩固一、选择题1．已知三角形的三边长分别是a，b，，则此三角形中最大的角是()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：因为＞a,＞b，所以最大边是，设其所对的角为θ，则cosθ＝＝－，所以θ＝120°.答案：C2．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝()A．2B．2C.D．1解析：由＝，得＝，所以＝，故cosA＝，因为A∈(0，π)，所以A＝，所以B＝，C＝，c＝＝＝2.答案：B3．已知△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6.则AB·BC的值为()A．19B．14C．－18D．－19解析：由余弦定理的推论知：cosB＝＝.所以AB·BC＝|AB|·|BC|·cos(π－B)＝7×5×＝－19.答案：D4．锐角三角形ABC中，sinA和cosB的大小关系是()A．sinA＝cosBB．sinA＜cosBC．sinA＞cosBD．不能确定解析：在锐角三角形ABC中，A＋B＞90°.所以A＞90°－B，所以sinA＞sin(90°－B)＝cosB.答案：C5．在△ABC中，b＝8，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆面积为()A.B.C.D.解析：a2＝b2＋c2－2bccosA＝82＋32－2×8×3×＝49，所以a＝7，所以2R＝＝＝，所以R＝，所以S＝π＝π.答案：D二、填空题6．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA＋acosB＝0，则B＝________．答案：7．在△ABC中，AB＝，D为BC的中点，AD＝1，∠BAD＝30°，则△ABC的面积S△ABC＝________．解析：因为AB＝，AD＝1，∠BAD＝30°，所以S△ABD＝··1·sin30°＝，又D是BC边中点，所以S△ABC＝2SABD＝.答案：8．(2018·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sinB＝________，c＝________．解析：本小题考查正弦定理、余弦定理．由＝得sinB＝sinA＝，由a2＝b2＋c2－2bccosA，得c2－2c－3＝0，解得c＝3(舍负)．答案：3三、解答题9．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cosC·(acosC＋ccosA)＋b＝0.(1)求角C的大小；(2)若b＝2，c＝2，求△ABC的面积．解：(1)由正弦定理可得2cosC(sinAcosC＋sinCcosA)＋sinB＝0，所以2cosCsin(A＋C)＋sinB＝0，即2cosCsinB＋sinB＝0，又00，所以a＝2.所以S△ABC＝absinC＝，所以△ABC的面积为.10．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，4sin2－cos2A＝.(1)求A的度数；(2)若a＝，b＋c＝3，求b和c的值．解：(1)由4sin2－cos2A＝及A＋B＋C＝180°，得2[1－cos(B＋C)]－2cos2A＋1＝⇒4(1＋cosA)－4cos2A＝5，即4cos2A－4cosA＋1＝0，所以(2cosA－1)2＝0，解得cosA＝.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.(2)由余弦定理，得cosA＝.因为cosA＝，所以＝，化简并整理，得(b＋c)2－a2＝3bc，将a＝，b＋c＝3代入上式，得bc＝2.则由解得或B级能力提升1．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－，则＝()A．6B．5C．4D．3答案：A2．在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．解析：如图所示，延长BA，CD交于点E，则可知在△ADE中，∠DAE＝105°，∠ADE＝45°，∠E＝30°，所以设AD＝x，AE＝x，DE＝x，CD＝m，因为BC＝2，所以·sin15°＝1⇒x＋m＝＋，所以0＜x＜4，而AB＝x＋m－x＝x＋m＝＋－x，所以AB的取值范围是(－，＋)．答案：(－，＋)3．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.(1)求C；(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．解：(1)由已知及正弦定理得：2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，即2cosCsin(A＋B)＝sinC.故2sinCcosC＝sinC.可得cosC＝，所以C＝.(2)由已知，absinC＝.又C＝，所以ab＝6.由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcosC＝7.故a2＋b2＝13，从而＝25.所以△ABC的周长为5＋.
