第3章数学归纳法与贝努利不等式3.2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式学业分层测评新人教B版选修4-5(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.利用数学归纳法证明不等式“n2<2n对于n≥n0的正整数n都成立”时，n0应取值为()A.1B.3C.5D.7【解析】12<21,22＝22,32>23,42＝24,52<25，利用数学归纳法验证n≥5，故n0的值为5.【答案】C2.对于不等式2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，观察上述记录，可推测出一般结论()A.f(2n)>B.f(n2)≥C.f(2n)≥D.以上都不对【解析】 f(2)＝；f(4)>2，即f(22)>；f(8)>，即f(23)>；f(16)>3，即f(24)>；f(32)>，即f(25)>.故猜想f(2n)>.【答案】C4.设f(x)是定义在正整数集上的函数，有f(k)满足：当“f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”.那么下列命题总成立的是()A.若f(3)≥9成立，则当k≥1，均有f(k)≥k2成立B.若f(5)≥25成立，则当k＜5，均有f(k)≥k2成立C.若f(7)＜49成立，则当k≥8，均有f(k)＜k2成立D.若f(4)＝25成立，则当k≥4，均有f(k)≥k2成立【解析】由题意，设f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立.”因此，对于A，不一定有k＝1,2时成立.对于B，C显然错误.对于D， f(4)＝25＞42，因此对于任意的k≥4，有f(k)≥k2成立.【答案】D5.对于正整数n，下列说法不正确的是()A.3n≥1＋2nB.0.9n≥1－0.1nC.0.9n＜1－0.1nD.0.1n≥1－0.9n【解析】由贝努利不等式(1＋x)n≥1＋nx(x≥－1，n∈N＋)，当x＝2时，(1＋2)n≥1＋2n，A正确.当x＝－0.1时，(1－0.1)n≥1－0.1n，B正确，C不正确.当x＝0.9时，(1－0.9)n≥1－0.9n，因此D正确.【答案】C二、填空题6.观察式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，则可归纳出________.【导学号：38000062】【答案】1＋＋＋…＋<(n≥2，n∈N＋)7.若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________.【解析】 f(k)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2，f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.【答案】f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)28.在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为________.【解析】由a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，得a2＝，a3＝，a4＝.由1×3,3×5,5×7,7×9，…，可得an＝＝.【答案】an＝三、解答题9.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＋2SnSn－1＝0(n≥2).(1)判断是否为等差数列，并证明你的结论；(2)证明：S＋S＋…＋S≤－.【解】(1)S1＝a1＝，∴＝2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，即Sn－Sn－1＝－2SnSn－1.∴－＝2.故是以2为首项，2为公差的等差数列.(2)证明：①当n＝1时，S＝＝－，不等式成立.②假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)时，不等式成立，即S＋S＋…＋S≤－成立，则当n＝k＋1时，S＋S＋…＋S＋S≤－＋＝－＝－·<－·＝－.即当n＝k＋1时，不等式成立.由①②可知，对任意n∈N＋不等式成立.10.已知函数f(x)＝x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，且an＋1≥f′(an＋1)，证明：an≥2n－1(n∈N＋).【证明】由f(x)＝x3－x，得f′(x)＝x2－1.因此an＋1≥f′(an＋1)＝(an＋1)2－1＝an(an＋2).(1)当n＝1时，a1≥1＝21－1，不等式成立.(2)假设当n＝k(k≥1，且k∈N＋)时，不等式成立，即ak≥2k－1.当n＝k＋1时，ak＋1≥ak(ak＋2)≥(2k－1)(2k－1＋2)＝22k－1.又k≥1，∴22k≥2k＋1，∴n＝k＋1时，ak＋1≥2k＋1－1，即不等式成立.根据(1)和(2)知，对任意n∈N＋，an≥2n－1成立.[能力提升]1.利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜f(n)(n≥2，n∈N＋)的过程，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了()A.1项B.k项C.2k－1项D.2k项【解析】1＋＋＋…＋－＝＋＋＋…＋，∴共增加2k项....
