2.1两角差的余弦函数2.2两角和与差的正弦、余弦函数课后篇巩固探究A组基础巩固1.已知a=(2sin35°,2cos35°),b=(cos5°,-sin5°),则a·b=()A.12B.1C.2D.2sin40°解析a·b=2sin35°cos5°-2cos35°sin5°=2sin(35°-5°)=2sin30°=1.答案B2.在△ABC中,已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1,则△ABC是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰非直角三角形解析sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB=sin[(A-B)+B]=sinA≥1,又sinA≤1,所以只能有sinA=1,即A=π2,三角形是直角三角形.答案C3.已知sin(α+β)=14,sin(α-β)=13,则tanαtanβ的值为()A.-17B.17C.-7D.7解析由sin(α+β)=14得sinαcosβ+cosαsinβ=14,①由sin(α-β)=13得sinαcosβ-cosαsinβ=13,②由①②得sinαcosβ=724,cosαsinβ=-124,以上两式相除得tanαtanβ=-7.答案C4.在△ABC中,A=π4,cosB=❑√1010,则sinC=()A.-❑√55B.❑√55C.-2❑√55D.2❑√55解析 cosB=❑√1010>0,B∈(0,π),∴B∈(0,π2),∴sinB=❑√1-cos2B=❑√1-(❑√1010)2=3❑√1010,∴sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=❑√22×(❑√1010+3❑√1010)=2❑√55.答案D5.若将函数f(x)=sin2x+cos2x的图像向右平移φ个单位长度,所得图像关于y轴对称,则φ的最小正值是()A.π8B.π4C.3π8D.3π4解析由题意f(x)=sin2x+cos2x=❑√2sin(2x+π4),将其图像向右平移φ个单位长度,得函数y=❑√2sin[2(x-φ)+π4]=❑√2sin(2x-2φ+π4)的图像,要使图像关于y轴对称,则π4-2φ=π2+kπ,解得φ=-π8−kπ2,当k=-1时,φ取最小正值3π8.答案C6.若cos(A-B)=13,则(sinA+sinB)2+(cosA+cosB)2=.解析原式=sin2A+2sinAsinB+sin2B+cos2A+2cosAcosB+cos2B=2+2cos(A-B)=2+23=83.答案837.若sinα-sinβ=1-❑√32,cosα-cosβ=12,则cos(α-β)的值为.答案❑√328.函数f(x)=cosx+cos(x+π3)的对称轴方程为.解析y=cosx+cos(x+π3)=cosx+12cosx-❑√32sinx=❑√3(❑√32cosx-12sinx)=❑√3sin(π3-x)=-❑√3sin(x-π3),令x-π3=kπ+π2(k∈Z),得x=kπ+5π6(k∈Z),即对称轴方程是x=kπ+5π6(k∈Z).答案x=kπ+5π6(k∈Z)9.化简:sin(x+π3)+2sin(x-π3)−❑√3cos(2π3-x).解原式=sinxcosπ3+cosxsinπ3+2sinxcosπ3-2cosxsinπ3−❑√3cos2π3cosx-❑√3sin2π3sinx=(cosπ3+2cosπ3-❑√3sin2π3)sinx+(sinπ3-2sinπ3−❑√3cos2π3)cosx=(12+1-❑√3×❑√32)sinx+(❑√32-❑√3+❑√32)cosx=0.10.求函数f(x)=sin2x+cos2x的递增区间.解f(x)=sin2x+cos2x=❑√2(sin2x·❑√22+cos2x·❑√22)=❑√2sin(2x+π4).令2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2(k∈Z),解得kπ-3π8≤x≤kπ+π8(k∈Z),故f(x)的递增区间是[kπ-3π8,kπ+π8](k∈Z).11.导学号93774092已知cosα-cosβ=12,sinα-sinβ=-13,求cos(α-β)的值.解由已知cosα-cosβ=12,sinα-sinβ=-13,两式两边平方并相加,得(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=14+19,即2-2cosαcosβ-2sinαsinβ=1336,∴cosαcosβ+sinαsinβ=12×(2-1336)=5972,∴cos(α-β)=5972.B组能力提升1.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-❑√3cos(θ+15°)的值等于()A.±1B.1C.-1D.0解析原式=sin[60°+(θ+15°)]+cos(θ+45°)-❑√3cos(θ+15°)=-❑√32cos(θ+15°)+12sin(θ+15°)+cos(θ+45°)=sin(-60°)cos(θ+15°)+cos(-60°)·sin(θ+15°)+cos(θ+45°)=sin(θ-45°)+cos(θ+45°)=0,故选D.答案D2.设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π,且f(-x)=f(x),则()A.f(x)在(0,π2)内是减少的B.f(x)在(π4,3π4)内是减少的C.f(x)在(0,π2)内是增加的D.f(x)在(π4,3π4)内是增加的解析f(x)=❑√2sin(ωx+φ+π4),由T=2πω=π,得ω=2,则f(x)=❑√2sin(2x+φ+π4).又f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数,因为|φ|<π2,所以φ+π4=π2,所以f(x)=❑√2cos2x,易知A正确.答案A3.若sin2α=❑√55,sin(β-α)=❑√1010,且α∈[π4,π],β∈[π,3π2],则α+β的值是()A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4解析 α∈[π4,π],∴2α∈[π2,2π]. sin2α=❑√55,∴2α∈[π2,π],∴α∈[π4,π2],∴cos2α=-2❑√55. β∈[π,3π2],故β+α∈[5π4,2π],β-...
