课时作业22平面向量数量积的物理背景及其含义时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．下面给出的关系式中正确的个数是()①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.A．1B．2C．3D．4解析：显然①②③正确；|a·b|≥a·b，④错误；(a·b)2＝(|a|·|b|cosθ)2＝a2·b2cos2θ≠a2·b2，⑤错误，选C.答案：C2．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，则AB·AC等于()A．－16B．－8C．8D．16解析：方法一：因为cosA＝，故AB·AC＝|AB||AC|cosA＝|AC|2＝16，故选D.方法二：AB在AC上的投影为|AB|cosA＝|AC|，故AB·AC＝|AC||AB|cosA＝|AC|2＝16，故选D.答案：D3．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：因为(2a＋b)·b＝2a·b＋b·b＝0，所以a·b＝－|b|2.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－，故θ＝120°.答案：C4．在四边形ABCD中，AB＝DC，且AC·BD＝0，则四边形ABCD是()A．矩形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形解析：由AB＝DC得四边形ABCD中一组对边平行且相等，由AC·BD＝0得两条对角线互相垂直，所以四边形ABCD为菱形．答案：B5．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ的值为()A．－B.C．±D．1解析：∵3a＋2b与λa－b垂直，∴(3a＋2b)·(λa－b)＝0，即3λ|a|2＋(2λ－3)a·b－2|b|2＝0.∵a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，∴a·b＝0，|a|2＝4，|b|2＝9，∴12λ－18＝0，即λ＝.答案：B6.1如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC.若|AB|＝a，|AD|＝b，则AC·BD＝()A．a2－b2B．b2－a2C．a2＋b2D．ab解析：因为AD⊥DC，所以AC在AD方向上的投影为|AC|cos∠CAD＝|AD|，因为AB⊥BC，所以AC在AB方向上的投影为|AC|cos∠CAB＝|AB|，所以AC·BD＝AC·(AD－AB)＝AC·AD－AC·AB＝|AD||AD|－|AB||AB|＝b2－a2.答案：B二、填空题(每小题8分，共计24分)7．已知|a|＝2，|b|＝4，a·b＝3，则(2a－3b)·(2a＋b)＝________.解析：原式＝4a2－4a·b－3b2＝4×4－4×3－3×16＝－44.答案：－448．若e1，e2是夹角为的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为________．解析：因为e1，e2是夹角为的两个单位向量，所以e1·e2＝|e1||e2|cos＝1×1×＝，|a|2＝a2＝(2e1＋e2)2＝4e＋4e1·e2＋e＝4×12＋4×＋12＝7，|b|2＝b2＝(－3e1＋2e2)2＝9e－12e1·e2＋4e＝9×12－12×＋4×12＝7，a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e＋e1·e2＋2e＝－6×12＋＋2×12＝－，设向量a与向量b的夹角为θ，cosθ＝＝＝－，又θ∈[0，π]，所以θ＝.答案：9．(2013·天津卷)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC·BE＝1，则AB的长为________．解析：设|AB|＝x(x>0)，则AB·AD＝x.所以AC·BE＝(AD＋AB)·(AD－AB)＝1－x2＋x＝1，解得x＝，即AB的长为.答案：三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分)10．已知|a|＝4，|b|＝3，a与b的夹角为120°，且c＝a＋2b，d＝2a＋kb，问当k为何值时，(1)c⊥d；(2)c∥d.解：c·d＝(a＋2b)·(2a＋kb)＝8＋12k.2|c|＝2，|d|＝，cos〈c，d〉＝＝.(1)当c⊥d时，8＋12k＝0，k＝－；(2)当c∥d时，cos〈c，d〉＝±1，k＝4.11．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求|a＋b|；(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．解：(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6，∴|a＋b|＝＝＝.(2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，∴向量a在向量a＋b方向上的投影为＝＝.12．已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.(1)求证：(a－b)⊥c.(2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围．解：(1)证法1：∵|a|＝|b|＝|c|＝1且a、b、c之间的夹角均为120°，∴(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos120°－|b||c|cos120°＝0.∴(a－b)⊥c.证法2：如图，设OA＝a，OB＝b，OC＝c.由题意可知，连接AB、AC、BC的三条线段围成正三角形ABC，O为△ABC的中心，∴OC⊥AB.又∵BA＝a－b，∴(a－b)⊥c.(2)解：∵|ka＋b＋c|>1，∴(ka＋b＋c)·(ka＋b＋c)>1，即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1.∵a·c＝a·c＝b·c＝cos120°＝－，∴k2－2k>0.解得k<0或k>2.即k的取值范围是k<0或k>2.3
