课时作业13函数奇偶性的应用时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数解析：∵f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数．∴f(x)＝f(－x)．即ax2＋bx＋c＝ax2－bx＋c.∴b＝0.∴g(x)＝ax3＋bx2＋cx＝ax3＋cx.∴g(－x)＝－(ax3＋cx)＝－g(x)．∴g(x)是奇函数．故选A.答案：A2．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，当x∈(－∞，0]时，f(x)＝x－x4，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)等于()A．x＋x4B．－x－x4C．－x＋x4D．x－x4解析：当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)，则f(－x)＝－x－(－x)4＝－x－x4.又∵函数f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)，x∈(0，＋∞)，从而在区间(0，＋∞)上的函数表达式为f(x)＝－x－x4.故选B.答案：B3．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是()A．f(－π)>f(3)>f(－2)B．f(－π)>f(－2)>f(3)C．f(3)>f(－2)>f(－π)D．f(3)>f(－π)>f(－2)解析：∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2),f(－π)＝f(π)，又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且2<3<π，∴f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2)．故选A.答案：A4．如果偶函数f(x)在[3,7]上是增函数，且最小值是5，那么f(x)在[－7，－3]上是()A．增函数，最小值是5B．增函数，最大值为－5C．减函数，最小值是5D．增函数，最大值为－51解析：可先画出y＝f(x)在[3,7]上的大致草图，由于y＝f(x)是偶函数，据偶函数的图象关于y轴对称，画出y＝f(x)在[－7，－3]上的图象，可知f(x)在[－7，－3]上为减函数，其最小值为5.答案：C5．已知定义在实数集上的函数f(x)，不恒为0，且对任意x，y∈R，满足xf(y)＝yf(x)，则f(x)是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数解析：由xf(y)＝yf(x)，令x＝1，y＝0，得f(0)＝0.∴令y＝－x≠0，得xf(－x)＝－xf(x)．而x≠0，∴f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数．又f(x)不恒为0，排除f(x)既奇又偶的可能，故选A.答案：A6．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0)上是增函数，且f(2)＝0，则使f(x)<0的x的取值范围是()A．－22C．x<－2D．x>2解析：由f(2)＝f(－2)＝0.再结合图象可知f(x)<0的解为x<－2或x>2.答案：B二、填空题(每小题8分，共计24分)7．如果函数y＝是奇函数，则f(x)＝________.2解析：设x<0则－x>0，∴f(－x)＝2×(－x)－3＝－2x－3.又f(x)为奇函数，∴f(x)＝2x＋3.答案：2x＋38．已知y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝________.解析：∵g(x)＝f(x)＋2，g(1)＝1，∴1＝f(1)＋2，∴f(1)＝－1，又∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝1.令x＝－1，则g(－1)＝f(－1)＋2＝3.答案：39．已知对于任意实数x，函数f(－x)＝－f(x)，若方程f(x)＝0有2009个实数解，则这2009个实数解之和为________．解析：据奇函数图象的对称性可知这些根之和一定为0.答案：0三、解答题(共计40分)10．(10分)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(1－x)，求函数f(x)的解析式．解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x),f(0)＝0，当x>0时，－x<0，∴f(x)＝－f(－x)＝x(1＋x)．∴函数f(x)的解析式为f(x)＝11．(15分)定义在[－2,2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)单调递减，若g(1－m)0.(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．解：(1)∵a>b，∴a－b>0，由题意得>0，∴f(a)＋f(－b)>0.又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)．3(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数，∵f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，∴f(1＋m)≥－f(3－2m)，即f(1＋m)≥f(2m－3)，∴1＋m≥2m－3，∴m≤4.∴实数m的取值范围为(－∞，4]．4
