课时作业13函数奇偶性的应用时间:45分钟分值:100分一、选择题(每小题6分,共计36分)1.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+cx是()A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数解析:∵f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数.∴f(x)=f(-x).即ax2+bx+c=ax2-bx+c.∴b=0.∴g(x)=ax3+bx2+cx=ax3+cx.∴g(-x)=-(ax3+cx)=-g(x).∴g(x)是奇函数.故选A.答案:A2.已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,当x∈(-∞,0]时,f(x)=x-x4,则当x∈(0,+∞)时,f(x)等于()A.x+x4B.-x-x4C.-x+x4D.x-x4解析:当x∈(0,+∞)时,-x∈(-∞,0),则f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4.又∵函数f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x),x∈(0,+∞),从而在区间(0,+∞)上的函数表达式为f(x)=-x-x4.故选B.答案:B3.设f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则f(-2),f(-π),f(3)的大小顺序是()A.f(-π)>f(3)>f(-2)B.f(-π)>f(-2)>f(3)C.f(3)>f(-2)>f(-π)D.f(3)>f(-π)>f(-2)解析:∵f(x)是R上的偶函数,∴f(-2)=f(2),f(-π)=f(π),又f(x)在[0,+∞)上单调递增,且2<3<π,∴f(π)>f(3)>f(2),即f(-π)>f(3)>f(-2).故选A.答案:A4.如果偶函数f(x)在[3,7]上是增函数,且最小值是5,那么f(x)在[-7,-3]上是()A.增函数,最小值是5B.增函数,最大值为-5C.减函数,最小值是5D.增函数,最大值为-51解析:可先画出y=f(x)在[3,7]上的大致草图,由于y=f(x)是偶函数,据偶函数的图象关于y轴对称,画出y=f(x)在[-7,-3]上的图象,可知f(x)在[-7,-3]上为减函数,其最小值为5.答案:C5.已知定义在实数集上的函数f(x),不恒为0,且对任意x,y∈R,满足xf(y)=yf(x),则f(x)是()A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数解析:由xf(y)=yf(x),令x=1,y=0,得f(0)=0.∴令y=-x≠0,得xf(-x)=-xf(x).而x≠0,∴f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数.又f(x)不恒为0,排除f(x)既奇又偶的可能,故选A.答案:A6.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0)上是增函数,且f(2)=0,则使f(x)<0的x的取值范围是()A.-22C.x<-2D.x>2解析:由f(2)=f(-2)=0.再结合图象可知f(x)<0的解为x<-2或x>2.答案:B二、填空题(每小题8分,共计24分)7.如果函数y=是奇函数,则f(x)=________.2解析:设x<0则-x>0,∴f(-x)=2×(-x)-3=-2x-3.又f(x)为奇函数,∴f(x)=2x+3.答案:2x+38.已知y=f(x)是奇函数,若g(x)=f(x)+2且g(1)=1,则g(-1)=________.解析:∵g(x)=f(x)+2,g(1)=1,∴1=f(1)+2,∴f(1)=-1,又∵f(x)是奇函数,∴f(-1)=1.令x=-1,则g(-1)=f(-1)+2=3.答案:39.已知对于任意实数x,函数f(-x)=-f(x),若方程f(x)=0有2009个实数解,则这2009个实数解之和为________.解析:据奇函数图象的对称性可知这些根之和一定为0.答案:0三、解答题(共计40分)10.(10分)若f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x(1-x),求函数f(x)的解析式.解:∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),f(0)=0,当x>0时,-x<0,∴f(x)=-f(-x)=x(1+x).∴函数f(x)的解析式为f(x)=11.(15分)定义在[-2,2]上的偶函数g(x),当x≥0时,g(x)单调递减,若g(1-m)0.(1)若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小关系;(2)若f(1+m)+f(3-2m)≥0,求实数m的取值范围.解:(1)∵a>b,∴a-b>0,由题意得>0,∴f(a)+f(-b)>0.又f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-b)=-f(b),∴f(a)-f(b)>0,即f(a)>f(b).3(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数,∵f(1+m)+f(3-2m)≥0,∴f(1+m)≥-f(3-2m),即f(1+m)≥f(2m-3),∴1+m≥2m-3,∴m≤4.∴实数m的取值范围为(-∞,4].4