高一数学判定方程解的存在性、二分法求方程的近似解北师大版【本讲教育信息】一.教学内容：判定方程解的存在性、二分法求方程的近似解【本讲的主要内容】利用函数性质判定方程解的存在性、利用二分法求方程的近似解二、学习目标1、进一步认识函数与方程的关系，求方程f（x）=0的实数解就是求函数y=f（x）的零点，体会函数知识的核心作用；2、能够利用函数的性质判定方程解的存在性；3、能够利用二分法求方程的近似解，认识求方程近似解方法的意义；4、在近似计算的学习中感受近似的思想、逼近的思想和算法的思想等数学思想的含义和作用。三、知识要点1、函数的零点：我们把函数y=f（x）的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。注意：①函数的零点是一个实数，而不是一个点；②由定义可知，函数y=f（x）的零点其实就是方程f（x）=0的解；所以解方程的问题就可以化归为求函数的零点的问题。2、连续曲线：在本讲中涉及的“连续曲线”为不加定义的概念，即同学们可以根据自己的知识基础和生活经验，结合具体的函数图像对其是否连续作出判断，如反比例函数在［1，2］上的图像就是连续的。我们所说的“连续曲线”均指闭区间［a，b］上的。3、存在性命题的证明：一般有两种思路，即构造法和非构造法。构造法是按照题意构造出符合条件的数学对象，既已构造，必然存在；非构造法是从逻辑上证明符合条件的数学对象必然存在，但没有构造出实际对象。本讲中涉及的判断方程解的存在性采用的就是非构造法4、利用函数性质判定方程解的存在性：闭区间［a，b］上的连续函数f（x）满足条件f（a）·f（b）<0，则方程f（x）=0在［a，b］上一定存在实数解。但是对于实数解的个数，则难以判定。而且函数在［a，b］上存在实数解并不表明函数在［a，b］上就是连续的，也不一定满足条件f（a）·f（b）<0。5、通过设计以下活动，了解二分法处理问题的基本思想：活动任务：提问不超过三次，确定一个学生的年龄；活动规则：对于提问，被问者只需答“是”或“否”。合理假设：高一学生年龄在14~20岁（含）之间。提问及回答过程模拟图示如下：用心爱心专心思考：为什么第一次提问时选择了17岁？这样做有什么好处？6、利用二分法求方程f（x）=0的近似解：第一步：选取初始区间［a，b］，使得f（a）·f（b）<0；第二步，令，判断f（m）是否为零，是则m为所求的解；否则从f（a），f（b）中选出与f（m）的符号相异的一个，与m组成一个新的区间（［a，m］或［m，b］）；如此循环；循环终止的条件是最后所取区间的“长度”小于或等于精确度，此时按照精确度的要求，这个区间内的所有值的近似值都是相等的。如果不相等，即使区间的“长度”小于或等于精确度也不能终止。说明：1）在这个过程中，可能因为计算量大，要同学们反复使用计算器；同时由于数据较多，极易出错，所以一定要十分细心和耐心；2）这个过程可以用一个框图或流程图来表示，但不必是严格规范的格式，我们只要能将这个过程和这种处理问题的思想表达出来即可；严格规范的格式到算法章节再专门研究；3）高于四次的方程一般都不能用公式法求解，所以数学家们一直在研究方程近似解的求法。早在十三世纪的中国，秦九韶等数学家们就提出了高次方程数值解的解法，当时用算筹可以解出高达十次的方程；4）在求方程近似解的过程中蕴含着三种数学思想，请同学们注意在解题的过程中用心爱心专心进行感受：一是近似的思想，二是逼近的思想，三是算法的思想，在这里从理论上说，可以求得任意精度下的解，所以尽管是近似的，但能确保是“无限逼近的”和“够用的”；这里的算法确保了这是一种有序的逼近。但同时同学们也要清楚，二分法并不是求方程近似解的唯一方法。【典型例题】考点一：利用函数性质判定方程解的存在或研究函数零点的分布这类问题常有两种情形：I、未指定区间：需采取尝试法确定区间；II、指定区间：直接代入判断。两种情形下判断的依据都是区间端点的函数值异号。例1、利用函数性质判断方程解的存在。分析：利用函数性质解题的前提是构造函数，本题可根据题目特征，构造函数，这是一个二次函数，其图像是抛物线，这样就把方程解的存在性问题转...
