2.3函数的奇偶性与周期性第二章2.3函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力必备知识-2-知识梳理考点自诊1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有,那么函数f(x)是偶函数关于对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有,那么函数f(x)是奇函数关于对称f(-x)=f(x)y轴f(-x)=-f(x)原点第二章2.3函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力必备知识-3-知识梳理考点自诊2.函数的周期性(1)周期函数:T为函数f(x)的一个周期,则需满足条件:①T≠0;②对定义域内的任意x都成立.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个,那么这个就叫做f(x)的最小正周期.(3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(x∈R)的一个周期,则nT(n∈Z,且n≠0)也是函数f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).f(x+T)=f(x)最小的正数最小正数第二章2.3函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力必备知识-4-知识梳理考点自诊1.函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x=0处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.(4)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.第二章2.3函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力必备知识-5-知识梳理考点自诊2.周期性的几个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x(其中a>0,且为常数):(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a;(2)若f(x+a)=(m∈R且m≠0),则T=2a;(3)若f(x+a)=f(x-a),则T=2a;一般地,若f(x+a)=f(x-b),则T=|a+b|;(4)若f(x)的图象关于(a,0)对称,且关于x=b对称,则T=4|a-b|;(5)若f(x)的图象关于(a,0)对称,且关于(b,0)对称,则T=2|a-b|.3.对称性的四个常用结论(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称;(2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称;mf(x)第二章2.3函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力必备知识-6-知识梳理考点自诊第二章2.3函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力必备知识-7-知识梳理考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)函数y=x2在区间(0,+∞)内是偶函数.()(2)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.()(3)若函数y=f(x-2)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称.()(4)如果函数f(x),g(x)是定义域相同的偶函数,那么F(x)=f(x)+g(x)是偶函数.()(5)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)在(-∞,0)内是减函数,则f(x)在(0,+∞)内是增函数.()(6)若T为y=f(x)的一个周期,则nT(n∈Z)是函数f(x)的周期.()×××√√×第二章2.3函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力必备知识-8-知识梳理考点自诊2.(2019云南玉溪一中二模,理3)下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是()A.y=x3C.y=2|x|D.y=cosxB.y=ln1|𝑥|B解析:易知y=ln1|𝑥|,y=2|x|,y=cosx为偶函数,在区间(0,+∞)上,y=ln1|𝑥|单调递减,y=2|x|单调递增,y=cosx有增有减.故选B.第二章2.3函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力必备知识-9-知识梳理考点自诊3.(2019全国2,文6)设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)=()A.e-x-1B.e-x+1C.-e-x-1D.-e-x+1D解析: f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).当x<0时,-x>0,f(-x)=e-x-1=-f(x),即f(x)=-e-x+1.故选D.第二章2.3函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力必备知识-10-知识梳理考点自诊4.(2019山师附中考前模拟,3)把满足条件(ⅰ)∀x∈R,f(-x)=f(x),(ⅱ)∀x1∈R,∃x2∈R,使得f(x1)=-f(x2)的函数称为“D函数”,下列函数是“D函数”的有()①y=x2+|x|;②y=x3;③y=ex+e-x;④y=cosx;⑤y=xsinx.A.1个B.2个C.3个D.4个B解析:满足(ⅰ)(ⅱ)的函数是偶函数,且值域关于原点对称,④⑤满足,选B.第二章2.3函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力必备知识-11-知识梳理考点自诊5.(2019全国2,理14)已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-eax.若f(ln2)=8,则a=.-3解析: ln2∈(0,1),f(ln2)=8,f(x)是奇函数,∴f(-ln2)=-8. 当x<0时,f(x)=-eax,∴f(-ln2)=-e-aln2=-8,∴e-aln2=8...
