基本不等式知识点归纳VIP免费

基本不等式知识点总结向量不等式：||||||||||||ababab≤≤【注意】：ab、同向或有0||||||abab��≥||||||||abab��；ab、反向或有0||||||abab��≥||||||||abab��；ab、不共线||||||||||||ababab��.(这些和实数集中类似)代数不等式：,ab同号或有0||||||||||||abababab≥；,ab异号或有0||||||||||||abababab≥.绝对值不等式：123123aaaaaa≤(0)abababab时,取等双向不等式：ababab≤≤（左边当0(0)ab≤≥时取得等号，右边当0(0)ab≥≤时取得等号.）放缩不等式：①00abam，，则bmbbmamaam.【说明】：bbmaam（0,0abm，糖水的浓度问题）.【拓展】：，则，，000nmbabanbnamambab1.②,,abcR，bdac，则bbddaacc；③nN，1112nnnnn；④,1nNn，21111111nnnnn.⑤ln1xx≤(0)x,1xex≥()xR.函数图象及性质xabab2ab2aboy(1)函数图象如图：(2)函数性质：①值域：；②单调递增区间：，；单调递减区间：，.基本不等式知识点总结重要不等式1、和积不等式：,abR222abab≥(当且仅当ab时取到“”)．【变形】：①222()22ababab≤≤（当a=b时，222()22ababab）【注意】：(,)2abababR≤，2()(,)2abababR≤2、均值不等式：两个正数ba、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均”2222“”1122ababababababab≤≤≤（当且仅当时取）*.若，则(当且仅当时取“=”）;若，则(当且仅当时取“=”）若，则(当且仅当时取“=”）*.若，则(当且仅当时取“=”）若，则(当且仅当时取“=”）3、含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：3333abcabc≥（0abc等式即可成立，时取等或0cbacba）；33abcabc≤3()3abcabc≤3333abc≤*不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当时，同时除以ab得或。*均为正数，八种变式：①；②；③④；⑤若b>0,则；⑥a>0,b>0,则；⑦若a>0,b>0,则；⑧若，则。上述八个不等式中等号成立的条件都是“”。最值定理（积定和最小）①,0,2xyxyxy≥由，若积()xyP定值，则当xy时和xy有最小值2p；（和定积最大）②,0,2xyxyxy≥由，若和()xyS定值，则当xy是积xy有最大值214s.【推广】：已知Ryx,，则有xyyxyx2)()(22.（1）若积xy是定值，则当||yx最大时，||yx最大；当||yx最小时，||yx最小.（2）若和||yx是定值，则当||yx最大时，||xy最小；当||yx最小时，||xy最大.③已知,,,Raxby，若1axby，则有则的最小值为：21111()()2()byaxaxbyababababxyxyxy≥④已知，若则和的最小值为：①.②应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：⑴凑系数（乘、除变量系数）.例1.当04x时，求函的数(82)yxx最大值.⑵凑项（加、减常数项）：例2.已知54x，求函数1()4245fxxx的最大值.⑶调整分子：例3.求函数2710()(1)1xxfxxx的值域；⑷变用公式：基本不等式2abab有几个常用变形,2222abab，222()22abab不易想到，应重视；例4.求函数152152()22yxxx的最大值；⑸连用公式：例5.已知0ab，求216()yabab的最小值；⑹对数变换：例6.已知1,12xy，且xye，求ln(2)ytx的最大值；⑺三角变换：例7.已知20yx≤，且tan3tanxy，求txy的最大值；⑻常数代换（逆用条件）：例8.已知0,0ab，且21ab，求11tab的最小值.“单调性”补了“基本不等式”的漏洞：⑴平方和为定值若22xya（a为定值，0a），可设cos,sin,xaya，其中02≤.①(,)sincos2sin()4fxyxyaaa...