2013年高考数学总复习第七章第4课时直线与圆、圆与圆的位置关系课时闯关（含解析）新人教版一、选择题1．(2012·抚顺质检)直线2x－y＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝9相交于A，B两点，则△ABC(C为圆心)的面积等于()A．2B．2C．4D．4解析：选A.圆C的圆心C(2，－1)，半径r＝3，C到直线2x－y＝0的距离d＝＝，∴|AB|＝2＝4，∴S△ABC＝×4×＝2.2．若直线x＋y＋2n＝0与圆x2＋y2＝n2相切，其中n∈N*，则n的值为()A．1B．2C．4D．1或2解析：选D.圆心(0,0)到直线的距离为：d＝＝2n－1.由n＝2n－1，结合选项，得n＝1或2.3．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值是()A．2B．1C.D.解析：选B.圆心(－5,12)到原点的距离为13，∵≥14－13＝1，∴x2＋y2≥1.4．过点(0，－1)作直线l与圆x2＋y2－2x－4y－20＝0交于A、B两点，如果|AB|＝8，则直线l的方程为()A．3x＋4y＋4＝0B．3x－4y－4＝0C．3x＋4y＋4＝0或y＋1＝0D．3x－4y－4＝0或y＋1＝0解析：选C.圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.圆心为(1,2)，半径r＝5，又|AB|＝8，从而圆心到直线的距离等于3.由点到直线的距离公式得直线方程为3x＋4y＋4＝0或y＋1＝0.故选C.5．在直线y＝2x＋1上有一点P，过点P且垂直于直线4x＋3y－3＝0的直线与圆x2＋y2－2x＝0有公共点，则点P的横坐标取值范围是()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－1,1)C．[－，－]D．(－，－)解析：选C.过点P且垂直于直线4x＋3y－3＝0的直线的斜率是k＝，设点P(x0,2x0＋1)，其方程是y－2x0－1＝(x－x0)，由圆心(1,0)到直线的距离小于或等于1可解得．二、填空题6．(2011·高考重庆卷)过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为__________．解析：圆的方程化为标准形式为2＋2＝1，又相交所得弦长为2，故相交弦为圆的直径，由此得直线过圆心，故所求直线方程为2x－y＝0.答案：2x－y＝07．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A、B两点，则线段AB的中垂线方程为________．解析：AB的中垂线即为圆C1、圆C2的连心线C1C2，又C1(3,0)，C2(0,3)，∴C1C2的方程为x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝08．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为________．解析：圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0可化为(x－3)2＋(y－4)2＝5.圆心(3,4)到原点的距离为5.故cosα＝，如图，∴cos∠PO1Q＝2cos2α－1＝－，∴|PQ|2＝()2＋()2＋2×()2×＝16.1∴|PQ|＝4.答案：4三、解答题9．如图，圆C通过不同的三点P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1)，已知圆C在点P处的切线斜率为1，试求圆C的方程．解：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则k、2为x2＋Dx＋F＝0的两根．∴k＋2＝－D,2k＝F，即D＝－(k＋2)，F＝2k，又圆过R(0,1)，故1＋E＋F＝0.∴E＝－2k－1.故所求圆的方程为x2＋y2－(k＋2)x－(2k＋1)y＋2k＝0，圆心坐标为(，)．∵圆C在点P处的切线斜率为1，∴kCP＝－1＝，∴k＝－3.∴所求圆C的方程为x2＋y2＋x＋5y－6＝0.10．已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3,5)，求：(1)过点A的圆的切线方程；(2)O点是坐标原点，连结OA，OC，求△AOC的面积S.解：(1)⊙C：(x－2)2＋(y－3)2＝1.当切线的斜率不存在时，有直线x＝3，C(2,3)到直线的距离为1，满足条件．当k存在时，设直线y－5＝k(x－3)，即y＝kx＋5－3k，＝1，解得k＝.∴直线方程为x＝3或y＝x＋.(2)|AO|＝＝，lAO：5x－3y＝0，点C到直线OA的距离d＝，S＝d|AO|＝.11．(探究选做)已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．解：(1)如图所示，|AB|＝4，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，∴|AD|＝2，|AC|＝4.在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点C到直线AB的距离公式：＝2，得k＝，此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，则CD⊥PD，∴CD·PD＝0，∴(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.2
