一元二次函数的学习纲要学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征.从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法.本资料将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题。一.解析式1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．即顶点坐标为，对称轴为直线x＝－.3．零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．其中.解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数。【例1】一个二次函数的图象如图，求函数的解析式.解：零点为1、3，，设为y=a(x-1)(x-3),过点（0，4），所以a=∴y=(x-1)(x-3)=(x2-4x+3)1.（人教A版第27页A组第6题）若，且，，则的值是______．2.若二次函数的图像的顶点坐标为，与y轴的交点坐标为(0,11)，则A．B．C．D．3.已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1）,则二次函数的解析式为_______________．二.图像特征二次函数的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等。结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易，形象直观。,其中，（1）函数的图象是一条抛物线，顶点坐标是（h,k），对称轴是直线x=h。（2）当a>0时，抛物线开口向上，函数在x=h处取最小值k=；1413练习1在区间上是减函数，在区间上是增函数；（3）当a<0时，抛物线开口向下，函数在x=h处取最大值k=；在区间上是增函数，在区间上是减函数；（4）越大开口越小二次项系数a决定了函数图象的开口方向、开口的大小和单调性，当a>0时，开口向上，a越大，开口越大，函数在对称轴两侧先减后增;当a<0时，开口向下，a的绝对值越大开口越大函数在对称轴两侧先增后减。当b=0时，函数为偶函数，当且时，函数既不是奇函数也不是偶函数。C是否为零决定着函数的图象是否过原点。另外，a和b决定着函数的对称轴。a,b,和c三者共同决定着函数的顶点位置。【例2】求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出函数的单调区间？并画出该函数的图象．解： y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x＝－1；顶点坐标为(－1，4)；当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；函数的单调增区间为,减区间为；采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点B和C，与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图1所示）．【例3】若函数f(x)=x+bx+c对任意实数x都有f(2+x)=f(2-x)，那么（）A.f(2)＜f(1)＜f(4)B.f(1)＜f(2)＜f(4)C.f(2)＜f(4)＜f(1)D.f(4)＜f(2)＜f(1)奎屯王新敞新疆分析：此题解决的关键是将函数的对称语言转化为对称轴方程.解：由f(2+x)=f(2-x)可知：函数f(x)的对称轴为x=2,由二次函数f(x)开口方向向上，可得f(2)最小，又f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)在x＜2时，y=f(x)为减函数 0＜1＜2，∴f(0)＞f(1)＞f(2)即f(2)＜f(1)＜f(4)奎屯王新敞新疆答案：A奎屯王新敞新疆通过此题可将对称语言推广如下：（1）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(a-x)成立，则x=a是函数f(x)的对称轴（2）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(b-x)成立，则x=是f(x)的对称轴.1.函数y＝－3(x＋2)2＋5的图象的开口向，对称轴为，顶点坐标为；当x＝时，函数取最值y＝；函数的单调减区间为___________．2.若的图像x=1对称，则c=_____．3.设，二次函数的图象下列之一：2xOyx＝－1A(－1,4)D(0,1)BC图1练习2(A)(B)(C)(D)则a的值为（）（A）1（B）－1（C）（D）4.函数对任意的x均有，那么、、的大小关系是（）A．B．C．D．三.单调性二次函数在区间和区间上分别单调.【例4】（人教A版第43页B组第1题）已知函数，．(1)求，的单调区间；(2)略．解:的单调减区间为,增区间为;的增区间为【例5】己知a,b,c∈R,且a<0,6a+b<0.设f(x)=ax2+bx+c,试比较f(3)、与f(π)的大小.解：由即抛物线顶点横坐标<3，又开口向下，所以二次函数f（x）在上递增.。【例6】已知函数在区间(,1)上为增函数，那么...
