第3讲平面向量的数量积及应用基础巩固1.已知a=(1,0),b=(1,1),(a+λb)⊥b,则λ等于()A.-2B.2C.D.-【答案】D【解析】由(a+λb)·b=0,得a·b+λ|b|2=0,得1+2λ=0,即λ=-,故选D.2.若向量a=(2,0),b=(1,1),则下列结论正确的是()A.a·b=1B.|a|=|b|C.(a-b)⊥bD.a∥b【答案】C【解析】a·b=2,选项A错误;|a|=2,|b|=,选项B错误;(a-b)·b=(1,-1)·(1,1)=0,选项C正确,故选C.3.已知向量a,b的夹角为120°,|a|=1,|b|=5,则|3a-b|等于()A.7B.6C.5D.4【答案】A【解析】|3a-b|=====7.故选A.4.(2012·湖南永州模拟)已知平面上三点A,B,C满足||=6,||=8,||=10,则·+·+·的值等于()A.100B.96C.-100D.-96【答案】C【解析】∵||=6,||=8,||=10,62+82=102,∴△ABC为直角三角形,即·=0.·+·+·=·(+)=·=-||2=-100.5.(2013届·浙江杭州质检)已知非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=|a|,则a+b与a-b的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】B【解析】将|a+b|=|a-b|两边同时平方,得a·b=0;将|a-b|=|a|两边同时平方,得b2=a2.所以cos
===.所以=60°.6.已知向量a=(2cosα,2sinα),b=(3cosβ,3sinβ),若a与b的夹角为60°,则直线xcosα-ysinα+=0与圆(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=的位置关系是()A.相交B.相交且过圆心C.相切D.相离【答案】D【解析】∵a=(2cosα,2sinα),b=(3cosβ,3sinβ),∴|a|=2,|b|=3.∴a·b=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos(α-β).而a·b=|a||b|cos60°=3,1∴6cos(α-β)=3⇒cos(α-β)=.则圆心(cosβ,-sinβ)到直线xcosα-ysinα+=0的距离d===1>=r,故直线与圆相离.7.设向量a与b的夹角为θ,定义a与b的“向量积”:a×b是一个向量,它的模|a×b|=|a||b|sinθ,若a=(-,-1),b=(1,),则|a×b|等于()A.B.2C.2D.4【答案】B【解析】∵|a|=|b|=2,a·b=-2,∴cosθ==-.又θ∈[0,π],∴sinθ=.∴|a×b|=2×2×=2.故选B.8.已知向量a=(4,3),b=(sinα,cosα),且a⊥b,那么tan2α=.【答案】-【解析】由a⊥b得4sinα+3cosα=0,所以tanα=-⇒tan2α=-.9.(2012·课标全国卷,15)已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=.【答案】3【解析】∵a,b的夹角为45°,|a|=1,∴a·b=|a||b|cos45°=|b|,|2a-b|2=4-4×|b|+|b|2=10,∴|b|=3.10.关于平面向量a,b,c,有下列三个命题:①若a·b=a·c,则b=c.②若a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,则k=-3.③非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为60°.其中真命题的序号为(写出所有真命题的序号).【答案】②【解析】命题①明显错误.由两向量平行的充要条件得1×6+2k=0,k=-3,故命题②正确.由|a|=|b|=|a-b|,再结合平行四边形法则可得a与a+b的夹角为30°,命题③错误.11.已知=(2,5),=(3,1),=(6,3),在上是否存在点M,使⊥,若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【解】设存在点M,且=λ=(6λ,3λ),∴=-=(2-6λ,5-3λ),=-=(3-6λ,1-3λ).∵⊥,∴(2-6λ)(3-6λ)+(5-3λ)(1-3λ)=0,即45λ2-48λ+11=0,解得λ=或λ=.∴=(2,1)或=.∴存在M(2,1)或M满足题意.12.已知向量a=(1,2),b=(2,-2).(1)设c=4a+b,求(b·c)a;(2)若a+λb与a垂直,求λ的值;(3)求向量a在b方向上的投影.【解】(1)∵a=(1,2),b=(2,-2),∴c=4a+b=(4,8)+(2,-2)=(6,6).∴b·c=2×6-2×6=0.∴(b·c)a=0×a=0.(2)a+λb=(1,2)+λ(2,-2)=(2λ+1,2-2λ),由于a+λb与a垂直,∴2λ+1+2(2-2λ)=0,∴λ=.(3)设向量a与b的夹角为θ,向量a在b方向上的投影为|a|cosθ.2∴|a|cosθ===-=-.13.已知a=(sinθ,1),b=(1,cosθ),c=(0,3),-<θ<.(1)若(4a-c)∥b,求θ;(2)求|a+b|的取值范围.【解】(1)4a-c=(4sinθ,4)-(0,3)=(4sinθ,1),∵(4a-c)∥b,∴4sinθcosθ-1=0.∴sin2θ=.∵θ∈,∴2θ∈(-π,π).∴2θ=或,即θ=或.(2)a+b=(sinθ+1,1+cosθ),|a+b|===,∵-<θ<,∴-<θ+<.∴sin.∴2sin∈(-2,2].∴|a+b|∈(1,+1].拓展延伸14.(2012·湖南衡阳六校联考)已知向量m=,n=,函数f(x)=m·n.(1)若f(x)=1,求cos的值;(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足acosC+c=b,求f(B)的取值范围.【解】由题意得f(x)=sincos+cos2=sin+cos+=sin+.(1)由f(x)=1,可得sin=,则cos=2cos2-1=2sin2-1=-.(2)由acosC+c=b可得a·+c=b,即b2+c2-a2=bc,则cosA==,得A=,B+C=,易知0
