平均值不等式及其证明平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。1.1平均值不等式一般地，假设a1，a2，…，an为n个非负实数，他们的算术平均值记为An=a1+a2+⋯+ann,几何平均值记为Gn=(a1a2⋯an)1n=n√a1a2⋯an.算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。a1+a2+⋯+ann≥n√a1a2⋯an即An≥Gn，当且仅当a1=a2=⋯an时，等号成立。上述不等式成为平均值不等式，或简称为均值不等式。平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵活、广泛，有多重不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。1.2平均值不等式的证明证法一（归纳法）（1）当n=2时，已知结论成立。（2）假设对n=k（正整数k≥2）时命题成立，即对ai>0，i=1,2，⋯，k，有a1+a2+⋯+akk≥k√a1a2⋯ak。那么，当n=k+1时，由于Ak+1=a1+a2+⋯+ak+1k+1，Gk+1=k+1√a1a2⋯ak+1,关于a1，a2，⋯，ak+1是对称的，任意对调ai与aj（i≠j），Ak+1和Gk+1的值不改变，因此不妨设a1=min{a1，a2，⋯，ak+1}，ak+1=max{a1，a2，⋯，ak+1}显然a1≤Ak+1≤ak+1，以及（a1−Ak+1）（ak+1−Ak+1）<0可得Ak+1（a1+ak+1−Ak+1）≥a1ak+1所以Ak+1=kAk+1k=（k+1）Ak+1−Akk=a1+a2+⋯+ak+1−Ak+1k¿a2+⋯+ak+（a1+ak+1−Ak+1）k≥k√a2⋯ak+1（a1+ak+1−Ak+1）即Ak+1k≥a2⋯ak（a1+ak+1−Ak+1）两边乘以Ak+1，得Ak+1k+1≥a2⋯akAk+1（a1+ak+1−Ak+1）≥a2⋯ak（a1ak+1）=Gk+1k+1从而，有Ak+1≥Gk+1证法二（归纳法）（1）当n=2时，已知结论成立。（2）假设对n=k（正整数k≥2）时命题成立，即对ai>0，i=1,2，⋯，k，有a1+a2+⋯+ak≥kk√a1a2⋯ak。那么，当n=k+1时，由于a1+a2+⋯+ak+ak+1¿a1+a2+⋯+ak+（ak+1+Gk+1+Gk+1+⋯+Gk+1）−（k−1）Gk+1≥kk√a1a2⋯ak+kk√ak+1Gk+1k−1−(k−1)Gk+1≥2k√k√a1a2⋯akk√ak+1Gk+1k−1−(k−1)Gk+1¿2k2k√Gk+1k−1Gk+1k+1−(k−1)Gk+1从而，有Ak+1≥Gk+1证法三（利用排序不等式）设两个实数组a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn满足a1≤a2≤…≤an；b1≤b2≤…≤bn，则a1b1+a2b2+⋯anbn（同序乘积之和）≥a1bj1+a2bj2+⋯anbjn（乱序乘积之和）≥a1bn+a2bn−1+⋯anb1（反序乘积之和）其中j1，j2，⋯，jn是1,2，⋯，n的一个排列，并且等号同时成立的充分必要条件是a1=a2=⋯=an或b1=b2=⋯=bn成立。证明：切比雪夫不等式（利用排序不等式证明）杨森不等式（Young）设μ1>0，μ2>0，μ1+μ2=1，则对x1，x2>0有x1μ1x2μ2≤μ1x1+μ2x2等号成立的充分必要条件是x1=x2。琴生不等式（Jensen）设y=f(x)，x∈（a，b）为上凸（或下凸）函数，则对任意xi∈（a，b）（i=1,2，⋯，n），我们都有μ1f(x1)+μ2f(x2)+⋯+μnf(xn)≤f(μ1x1+μ2x2+⋯+μnxn)或μ1f(x1)+μ2f(x2)+⋯+μnf(xn)≥f(μ1x1+μ2x2+⋯+μnxn)其中μi>0（i=1,2，⋯，n）∑i=1nμi=1习题一1.设a，b∈R+¿,1a+1b=1.¿求证：对一切正整数n，有（a+b）n−an−bn≥22n−2n+12.设a，b，c∈R+¿¿，求证（1+1a）（1+1b）（1+1c）≥2（1+a+b+c3√abc）3.设x1，x2，x3为正实数，证明：x2x1+x3x2+x1x3≤（x2x1）2+（x2x3）2+（x3x1）24.设a，b，c∈R+¿，a+b+c=1¿，求证：（1+a）（1+b）（1+c）≥8（1−a）（1−b）（1−c）5.设a，b，c∈R+¿，a2+b2+c2=1，求证abc+bca+cab≥√3¿6.设x，y，z∈R+¿，且x≥y≥z,求证：¿x2yz+y2zx+z2xy≥x2+y2+z27.设a，b，c，d是非负实数，满足ab+bc+cd+da=1，求证：a3b+c+d+b3a+c+d+c3b+a+d+d3a+b+c≥138.设n为给定的自然数，n≥3，对于n个给定的实数a1，a2，…，an；记|ai−aj|（1≤i
