平行线、角平分线联手演绎等角对等边平行线、角平分线联手作为条件，能解决许多问题。二者联手演绎等角对等边，就是一个典型。例1、如图1所示，BE是∠ABC的角平分线，点D是边BA上的一点，DF∥BC,交BE于点F,请你猜一猜BD与DF有怎样的大小关系？证明你的猜想。解：猜想：BD=DF；证明：因为，BE是∠ABC的角平分线，所以，∠ABF=∠CBF,因为，DF∥BC,所以，∠DFB=∠CBF,所以，∠DFB=∠ABF所以，BD=DF(等角对等边)例2如图2所示，BF是△ABC的角平分线，过点F作DF∥BC,交BA于点D,请你猜一猜BD与DF有怎样的大小关系？证明你的猜想。解：猜想：BD=DF；证明：因为，BF是∠ABC的角平分线，所以，∠ABF=∠CBF,因为，DF∥BC,所以，∠DFB=∠CBF,所以，∠DFB=∠ABF所以，BD=DF(等角对等边)例3、如图3所示，BF、CF是△ABC的角平分线，过点F作DF∥BC,交BA于点D,交BC于点E,请你猜一猜DE与BD、CE之间有怎样的大小关系？证明你的猜想。分析：利用原题的结论，不难得到：BD=DF,CE=EF,而DE=DF+EF,所以，DE=BD+CE.解：猜想：DE=BD+CE.证明：因为，BF是∠ABC的角平分线，所以，∠ABF=∠CBF,因为，DF∥BC,所以，∠DFB=∠CBF,所以，∠DFB=∠ABF所以，BD=DF(等角对等边)同理可得：EF=CE,因为，DE=DF+EF,所以，DE=BD+CE.例4、如图4所示，BD是∠ABC的角平分线，AD∥BC,那么，△ABD是等腰三角形吗？为什么？证明你的猜想。分析：根据我们对原题的剖析和结论，应该比较容易得到：AB=AD，根据等腰三角形的定义，知道△ABD是等腰三角形。证明的过程读者可以自己完成。例5、如图5所示，BE是∠ABC的角平分线，点D是边BA上的一点，DF∥BC,交BE于点F,如果∠ABC=60°，BF=6cm，求:三角形BDF的面积。解：因为，BE是∠ABC的角平分线，所以，∠ABF=∠CBF,因为，DF∥BC,所以，∠DFB=∠CBF,所以，∠DFB=∠ABF所以，BD=DF(等角对等边)，所以，△BDF是等腰三角形,如图6，过点D作DG⊥BF，垂足为G，根据等腰三角形三线合一的性质，得：BG=GF,因为，BF=6cm，所以，BG=GF=3cm,因为，∠ABC=60°，所以，∠DBF=30°，在直角三角形BDG中，设DG=xcm，则BD=2xcm，根据勾股定理，得：（2x）2-x2=32=9，解得，x=，所以，三角形BDF的面积为：=3（cm）2。例6、如图7所示，点P是∠AOB的角平分线上的一点，过点P作PC∥OA,交OB于点C,如果∠AOB=60°，OC=4cm，点P到OA的距离PD为。分析：因为OP平分∠AOB，∠AOB=60°，所以，∠AOP=∠POB=30°，因为，PC∥OA,得：∠AOP=∠OPC=30°，所以，PC=OC=4，∠PCB=∠POB+∠OPC=60°，点P是∠AOB的角平分线上的一点，PD⊥OA，过点P作PE⊥OB，则PE=PD,在直角三角形PCE中，∠PCE=60°，所以，∠CPE=30°，所以，CE==2,根据勾股定理得：PE=2,所以，点P到OA的距离PD为2。
