【线性系统课件】传递函数矩阵的零极点VIP免费

8.传递函数矩阵的零极点8.1极点和零点SISO系统：.)(0)(;)(0)()()()(1111的极点作为的根的零点作为的根以sGppssGzzspszsKsGjnjjimiinjjmii定义：零点——当输入u为有限值时，使输出y(s)为0的那些s值。极点——当输入u为有限值时，使输出y(s)为的那些s值。显然，零点是使G(s)的模为0的那些s值；极点是使G(s)的模为的那些s值。对MIMO系统，则要复杂得多。一.Rosenbrock对零极点的定义给定定义：G(s)的极点为M(s)中的根，i=1,2,…,rG(s)的零点为M(s)中的根，i=1,2,…,r形为其McmillanSmithpqrsrankGsGpq),,min()(,)(00)()(0)()()()()()(11sssssMsVsGsUrr0)(0)(ssii•例如所以，零点：s=0处有三个零点；极点：s=-1处有两个零点；s=-2处有三个极点。)2(00)2()1()()2()2()2()2()1()(22222222ssssssMMcmillanSmithssssssssssG形二.其它对零极点的定义1.不可简约矩阵分式描述G(s)的极点：detD(s)=0的根，或，detA(s)=0的根G(s)的零点：使N(s)或B(s)降秩的s值。该定义等价于Rosenbrock定义。证：设G(s)的Smith-Mcmillan标准形为M(s),则)()()()()(11sBsAsDsNsG11110)(0)(00)(0)()()()()()()(IssssssEsVsGsUsMrrr则值降秩的使值降秩的使的根的零点定义由故中描述另一不可简约矩阵分式为右不可简约ssNssErissGRosenbrockscsDsrankEsrankNsWssVsWsDsDsWsEsUsWsNsNsDsNsGMFDsDsNsGsDsNssVsEsUsVssEsUsVsMsUsGirrrr)()(,2,1,0)()(,)(det)(det),()()()()()()()()()()()()()(,)()()()()()()()()]()()][()([)()()()()()()()(01011001001111111而对左不可简约MFD有同样的结论。2.G(s)严格真时，对应的状态空间描述{A,B,C}能控，能观则的根的根的根的极点0)(det0)(det,2,1,0)()(sDsrissGri值降秩的使的零点的根的极点sCBAsIsGAsIsG0)(0)det()(3.方便计算的定义（1）G(s)的所有非零子式的最小公分母，就是G(s)的极点多项式，记为p(s)，p(s)=0的根，即为G(s)的极点。（2）当G(s)的r阶子式，以p(s)为共同分母时，其分子的首1最大公因式，即为G(s)的零点多项式z(s)，z(s)=0的根，即为G(s)的零点。注：各阶子式必须化为不可简约形式。例：2)(212111)2)(1(1011)(srankGssssssssG（1）求极点G(s)的一阶子式即为其各个元素G(s)的二阶子式为（2）求零点上边的2阶子式以p(s)为分母，则有1,2,2,1)()1()2)(1()(,)1()2)(1(,)2)(1(2,)2)(1()1(,)2)(1(1222的极点为所以母为其各阶子式的最小公分可见sGsssspssssssssss)1()2)(1()1)(2(2,)1()2)(1()1(,)1()2)(1()1)(2(2222ssssssssssssss分母的首1最大公因式为(s-1)，故z(s)=s-1，G(s)的零点为-1。几点讨论：（1）传递函数矩阵G(s)在复平面上的同一点出现零、极点时，可以不形成对消。例（2）由定义3可知，传递函数矩阵G(s)的极点，必是它的某一元素的极点；反之，G(s)的某个元素的极点，也是G(s)的极点。“一致性”210032)(ssssG（3）对零点，不存在如（2）所述的“一致性”，尽管有时相同。（4）若s=是G(s)的零点，则必有但不一定rankG(s=)