第3章 效用函数VIP专享VIP免费

第3章效用函数3.1引言3.2效用的定义和公理系统3.3效用函数的构造3.4风险与效用3.5货币的效用3.6阿莱斯悖论(Allais’sparadox)3.1引言在定量评价可能的行动的各种后果时，会遇到两个主要问题:(1)后果本身是用语言表述，可能没有任何合适的直接测量标度。(2)即使有一个明确的标度可以测量后果，按这个标度测得的量也可能并不反映后果对决策人的真正价值。3.1引言这个例子说明：即使是数值量表示的后果，它对决策人的实际价值仍有待确定。0实际价值100钱100100100000例3.1考虑钱对同一个人的价值。假设一个学生手头紧张，正好有机会挣100元钱，但是所要做的是他相当讨厌的工作。（1）如他经济情况差，他会认为100元钱的实际价值足够大，所要做的工作即使是相当讨厌的，他仍会去干；（2）如他先有了10000元，要为100元钱去干这份让他讨厌的工作，他就很可能不干了。3.1引言例3.2决策人面临图3.1中决策树所示的选择：①确定收入礼品1000元；②参与一次抽奖：有50%的机会得0元，50%的机会得2500元。礼品抽奖图3.1例3.2的决策树0.50.5250001.010001a2a有人选确定性的1000元的收入。抽奖的期望值虽大，风险也大，实际价值还不如保险的1000元。而有人认为礼品不如抽奖，因为抽奖提供了获得2500元的机会。这个例子说明：决策人的风险态度影响其对后果的实际价值判断。圣彼得堡悖论(St.PetersburgParadox/game)圣彼得堡悖论是数学家丹尼尔·伯努利（DanielBernoulli）的表兄尼古拉·伯努利(NicolausBernoulli)在1738提出的一个概率期望值悖论，它来自于一种掷币游戏，即圣彼得堡游戏(表1)。问题：你愿意花100元来参加一次圣彼得堡游戏吗？圣彼得堡悖论的解释1：(一)边际效用递减论DanielBernoulli在提出这个问题的时候就给出一种解决办法。他认为游戏的期望值计算不应该是金钱，而应该是金钱的期望效用，即利用众所周知的“期望效用递减律”，将金钱的效用测度函数用货币值的对数来表示:效用=log(货币值)，如表2所示。所有结果的效用期望值之和将为一个有限值log(4)≈0.60206，如果这里的效用函数符合实际，则理性决策应以4元为界。圣彼得堡悖论的解释2：(二)风险厌恶论圣彼得堡悖论对于奖金额大小没有限制。比如连续投掷40次才成功的话，奖金为1.1万亿元。但是这一奖金出现的概率极小，1.1万亿次才可能出现一次。实际上，游戏有一半的机会，其奖金为2元，四分之三的机会得奖4元和2元。奖金越少，机会越大，奖金越大，机会越小。Hacking（1980）所说：花25元的费用冒险参与游戏将是非常愚蠢的，虽有得大奖的机会，但是风险太大。因此，考虑采用风险厌恶因素的方法可以消解矛盾。PualWeirich就提出在期望值计算中加人一种风险厌恶因子，并得出了游戏费用的有限期望值，认为这种方法实际上解决了该悖论。圣彼得堡悖论的解释3：(三)效用上限论也有一种观点认为奖金的效用可能有一个上限，这样，期望效用之和就有了一个极限值。Menger认为效用上限是惟一能消解该悖论的方法。设效用值等于货币值，上限为100单位，则游戏的期望效用为7.56l25，如表3所示。圣彼得堡悖论的解释4：(四)结果有限论Gustason认为，要避免矛盾，必须对期望值概念进行限制，其一是限制其结果的数目；其二是把其结果值的大小限制在一定的范围内。这是典型的结果有限论，这一观点是从实际出发的。因为实际上，游戏的投掷次数总是有限的数。比如对游戏设定某一个投掷的上限数L，在投掷到这个数的时候，如果仍然没有成功，也结束游戏，不管你还能再投多少，就按照L付钱。因为你即便不设定L，实际上也总有投到头的时候，人的寿命总是有限的，任何原因都可以使得游戏中止。现在设定了上限，期望值自然也就可以计算了。3.1引言由上面例子可知：在进行决策分析时，存在如何描述或表达后果对决策人的实际价值，以便反映决策的人心目中各种后果的偏好次序（preferenceorder）的问题。偏好次序是决策人的个性与价值观的反映，它与决策人所处的社会地位、经济地位、文化素养、心理和生理（身体）状态有关。3.2效用的定义和公理系统3.2.1效用的定义3.2.2效用存在性公理3.2.3效用的公...