高二数学同步辅导教材（第32讲）一、本讲进度第十章排列、组合和概率10．1分类计数原理与分步计算原理二、主要内容1、理解分类计数原理及分步计数原理2、能用两个基本原理解题三、学习指导1、分类计数原理。一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，…，在第n类办法中有mn种方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种方法利用分类计数原理的关键是根据完成事情方法的独立性进行分类。对事物进行适当的分类是人们研究复杂事物常用用的方法，分类的基本要求是既不重复也不遗留，即每个研究对象当且仅当属于其中一类，在每一次分类中，标准要统一，更为复杂的问题，往往要分级讨论。使用分类计数原理时，就要恰当地分类，分类的标准是每一类的每一种方法都能独立完成某件事，这些方法之间相互没有影响。分类计数原理又称为加法原理。2、分步计数原理。一件事，完成它需要n个步骤，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，做第n步有mn种方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种使用分步计数原理的关键是根据完成事情的要求，确定所必须经过的步骤。这n个步骤缺不可，当且仅当这n个步骤连续完成之后，这件事情才算完成。3、两个原理的比较共同点：两个原理都是计算完成某项工作的方法种数，最后的目的都必须完成某件事。不同点：分类计数原理的特点是完成一件事的各种方法是互相独立，互不影响的，其中任何一种方法都能完成这件事。分步计数原理的特点是完成一件事必须分成若干步骤，缺少其中一步都不能完成这件事。归纳起来，分类计数原理针对的是“分类问题”，任何一种方法都能独立的、一次性完成一件事。从集合的角度看，若每一类作为一子集，则所有分类子集的并集应为全集，任两个分类子集的交集为空集。分步计数原理针对的是“分步问题”，一件事必须连续地、多次地完成。4、如何运用两个基本原理（1）审清题意，首先要弄清是完成怎样的事件；其次分析完成这件事可以采用什么方法；再适当分类，在每一类中看需要是否适当分步。（2）如果用分类计算原理，应根据具体问题特征确定一个分类标准，使得满足完成这件事的任何一种方法必定属于某一类；当然分别属于不同两类的两种方法应该也是不同的。如果用分步计数原理，必须根据问题特征进行合理的分步，使得完成这件事必需且只需连续完成这n步，且两个不同步骤中的两种方法应是无关的。（3）在研究乘法原理时，可借助于“树图”来直观地理解题意，帮助解题。四、典型例题例1、在平面直角坐标系内，点P（x，y）的横、纵坐标均在{0，1，2，3}内取值（1）不同的P点共有多少个？（2）在坐标轴上的P点共有多少个？（3）不在坐标轴上的点共有多少个？解题思路分析：（1）确定点P坐标必须分两步，即分步完成横坐标与纵坐标的确定：第一步确定横坐标，有用心爱心专心14种方法，即从0，1，2，3四个数字中选一个；第二步确定纵坐标，也可从0，1，2，3四个数字中选一个，也有四种方法。根据乘法原理，所有不同的P点个数为：N=4×4=16（种）（2）因坐标轴分横轴及纵轴，所以首先对点P分类讨论。注意到原点的特殊性，应分三类：第一类，点P横、纵坐标均为0，只有一种情况P（0，0）；第二类，点P横坐标为0，纵坐标不为0，纵坐标只能从1，2，3三个数中取，共有3种情况；第三类，点P纵坐标为0，横坐标不为0，同第二类，也有3种情况。根据加法原理，满足条件点P共有：N=1+3+3=7（种）（3）法一：直接法。分两步分别确定横坐标与纵坐标，它们只能从1，2，3三个数字中有，各有3种情况，根据乘法原理∴N=3×3=9法二：间接法。根据是否在坐标轴上分成两类讨论：第一类，点P在坐标轴上，由（2）知，共有7个；第二类，点P不在坐标轴上，设为x个则x+7=16∴x=9评注：间接法的原理也可以称之为减法原理例2、某市电话号码由7位数字组成，其中前两位数字是统一的，后五位数字都是0到9之间的一个数字，那么末位数字为8的电话号码至多有多少个？解题思路分析：本题只要考虑从第3至第6位这四个数字的取法，因每一个数字都可以从0～9这10个数字中取一个，有10种方法，所以根据乘法原理，共有N=10×10×10×10=10000（...
