符号“≤”和“＜”的用法之我见本文从分析符号“≤”和“＜”的用法中存在的问题提出解决的办法。长期以来，人们对于符号“≤”和“＜”的用法就存在着争议，不论是在教学实践中还是报刊上，对这个问题的争论还在继续，矛盾还没有解决。例如文[1]和文[2]仍在对这个问题进行辩论，他们争论的焦点是对文[3]一道数学题的证明。这道题是：设对于任意x∈[-1,1]都有≤1，求证：≤8。实际上，能够证明≤7，的最大值等于7。大家对这个证明并不存在争议，故证明过程从略。文[1]和文[2]矛盾的实质是对“≤”和“＜”两个符号的含义的理解。前者认为“＜”和“=”均成立时才能用“≤”，后者认为“＜”和“=”至少有一个成立就可以用“≤”。文[1]从=8不可能成立而断言≤8是假命题。文[2]则认为“由于≤7及7＜8知≤8是真命题！”按照文[2]的观点，由于7＜100，当然也可以推出“≤100”，还可以推出“≤10000”为真，等等。如果按照文[2]的观点，下面几个例子都要得出错误的结论：（1）求函数的定义域。毋庸置疑，这个函数的定义域是{x|x≤7}，如果按照文[2]的观点，由于7＜8，这个函数的定义域也可以写成{x|x≤8}，还可以写成{x|x≤1000}，甚至还可以写成{x|x≤+∞}，这岂不是所有函数的定义域都可以写成{x|x≤+∞}了吗？显然这是不行的。（2）一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根的条件是判别式Δ=b2-4ac＜0，按照文[2]的观点也可以写成Δ=b2-4ac≤0。（3）不等式＜0的解集本来是，按照文[2]的观点也可以写成{x|1≤x≤2}。（4）我们有时用不等式a＜x＜b表示开区间（a，b），用不等式a≤x≤b表示闭区间[a，b]，既然不等式a＜x＜b可以写作a≤x≤b，岂不是开区间（a，b）都可以写成闭区间[a，b]了吗？（5）与此类似，还有“±”的用法，例如16的平方根是±4，而16的算术平方根是4，不能写成“±4”。如果认为从“16的算术平方根是4”为真，“16的算术平方根是-4”为假，可以推出“16的算术平方根是±4为真”，那就错了。类似的例子还可以举出很多。为什么会出现这种矛盾呢？这主要是教材本身的矛盾造成的。现行高中数学第一册（上）第28页的练习第1题是：判断命题“2≤3”和“2≤2”的真假，教学参考书中的答案都是真命题。不言而喻，其理由是根据“P或q”形式复合命题的真值表，由命题“2＜3”为真及命题“2=3”为假，推出“2≤3”为真。文[2]正是按照这种逻辑法则推出了“≤8”为真。所有与文[2]观点相同的人的法宝就是那张真值表。如前所述，这种做法显然不妥，而按照文[1]的观点则可以避免上面5条所出现的错误。为了解决上面出现的矛盾，首先需要明确“或”的含义。“或”在逻辑上是析取联结词，而在自然语言中“或”是多义的。首先，它作为联结词有两种含义：①可兼或：例如ab=0，即a=0，或b=0，或a=b=0；二者至少有一个发生，不排斥二者都发生情况。②排斥或：例如他的死或重于泰山或轻于鸿毛；又如，实数a或是有理数或是无理数,非此即彼,不可兼得,其次,”或”还可以作为非联结词表示近似数.例如,他做这道题需要6分钟或8分钟，即近似数6至8分钟。“析取逻辑联结词是表示可兼或”（着重号是笔者加的）（文[4]）。对于“P或q”形式的复合命题，只有“或”的含义是“可兼或”时，才有“当P或q至少有一个为真时，则P或q为真”；而“或”的含义是“排斥或”时，只有当P或q都为真时，才有P或q为真。但是它与“p且q”形式的复合命题也不同。“p且q”为真时，P和q同时为真，而对于“排斥或”，P和q是不能同时为真的。“P或q”形式的复合命题的真值表只适用于可兼或而不适用于排斥或。因此，在遇到含有“或”的意思的语句时，要分析它是否为可兼或，用排斥或联结的语句不能用“P或q”形式的真值表。用“≤”、“≥”联结的语句都是排斥或，因此，只有在“＜”和“=”都成立时“≤”才成立，也就用心爱心专心教育是我们一生的事业是“＜”和“=”都成立，才能用“≤”号。（关于“≥”和“＞”的用法与此类似）例如，一元二次方程有实数根的条件是判别式Δ≥0，其含义是Δ＞0时一元二次方程有实数根，Δ=0时=0也有实数根，但对确定的a、b、c，“＞”号和“=”是不能同时成立的。又如“当x≥0时lgx有意...
