高一数学 2.2.1《综合法和分析法》教案（1）（新人教A版选修2-2）VIP免费

§2.2.1综合法和分析法一、教学目标：（一）知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。（二）过程与方法:培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力；（三）情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。二、教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点三、教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点四、教学过程:（一）导入新课：合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。（二）推进新课：1.综合法在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论。例如：已知a,b>0,求证2222()()4abcbcaabc教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义证明:因为222,0bcbca，所以22()2abcabc。因为222,0caacb，所以22()2bcaabc。因此2222()()4abcbcaabc。一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论，则综合法可表示为：用心爱心专心111223().....nPQQQQQQQ综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。例1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为,,abc,且A,B,C成等差数列,,,abc成等比数列,求证△ABC为等边三角形.分析：将A,B,C成等差数列，转化为符号语言就是2B=A+C;A,B,C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A+B+C=；a,b，c成等比数列，转化为符号语言就是2bac．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．证明：由A,B,C成等差数列，有2B=A+C．①因为A,B,C为△ABC的内角，所以A+B+C=．②由①②，得B=3．③由a,b，c成等比数列，有2bac．④由余弦定理及③，可得222222cosbacacBacac．再由④，得22acacac．即2()0ac，因此ac．从而A=C．由②③⑤，得A=B=C=3．所以△ABC为等边三角形．注：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．例2、已知,,Rba求证.abbababa分析：本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。证明：1)差值比较法：注意到要证的不等式关于ba,对称，不妨设.0ba0)(0bababbabbabababababa，从而原不等式得证。用心爱心专心22）商值比较法：设,0ba,0,1baba.1)(baabbabababa故原不等式得证。注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。2.分析法证明数学命题时，还经常从要证的结论Q出发，反推回去，寻求保证Q成立的条件，即使Q成立的充分条件P1，为了证明P1成立，再去寻求P1成立的充分条件P2，为了证明P2成立，再去寻求P2成立的充分条件P3，……直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。例如：基本不等式abba2（a>0，b>0）的证明就用了上述方法。要证abba2，只需证abba2，只需证02abba，只需证0)(2ba由于0)(2ba显然成立，因此原不等式成立。一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。这种方法叫做分析法。分析法可表示为：1121().....()nnnQPPPPPPP...