10.4.3二项式定理应用●教学目标(一)教学知识点1.二项式定理及有关概念，公式.2.二项式系数性质.(二)能力训练要求1.了解二项式定理在整除性的判断等方面的应用.2.掌握解决与二项式定理有关的综合问题的思想方法.(三)德育渗透目标1.提高综合素质.2.培养应用能力.●教学重点二项式定理及有关概念、公式的应用.●教学难点二项式定理与其他学科知识综合问题的分析与求解.●教学方法讲练相结合法●教学过程Ⅰ.复习回顾二项式定理：(a+b)n=an+an-1b1+…+an-rbr+…+bn.通项公式：Tr+1=an-rbr.二项式系数：.二项式系数的性质：=，即对称性.当n为偶数时，最大.当n为奇数时，=且最大.各项系数之和++…++…+=2n.Ⅱ.讲授新课［师］请同学们结合例题掌握以上知识.［例1］已知()n展开式的二项式系数之和比(a+b)2n的展开式的系数之和小240，求()n的展开式中系数最大的项.［师］请大家结合我们回顾的二项式系数的性质来分析此题.网站：http://www.zbjy.cn论坛：http://bbs.zbjy.cn版权所有@中报教育网1［生甲］我认为，可以先将题意转化为数学表达式，()n的展开式的二项式系数即++…+，利用二项式系数的性质可得++…+=2n.而(a+b)2n的展开式的系数可由赋值法得到，令a=b=1，可得(a+b)2n的展开式的系数为22n.由题意可得2n=22n-240，但方程还未解出.［生乙］我的解题思路与甲同学一致，2n=22n-240可化为(2n)2-2n-240=0,这是一个关于2n的一元二次方程，可以将2n解出，从而得到n值,然后写出()n的展开式的通项公式Tr+1=·()r·()n-r，再考查系数的最大值.［生丙］乙同学的解法可以改进一下，因为()n中两项的系数均为1，所以展开式中各项的系数即二项式系数，所以二项式系数的最大项即展开式系数的最大项，由二项式系数的性质可知(r=0,1,2,…,4)中，最大，故所求最大项即第3项.解：由题意，得2n=22n-240,∴22n-2n-240=0,即(2n-16)(2n+15)=0.又 2n+15>0,∴2n-16=0.∴n=4.∴()n=()4.又 ()4的展开式中二项式系数的最大的项为第3项，所以，所求()4展开式中系数最大的项为第3项，即T3=()2()2=6.［例2］已知1+2+22·+…+2n=2187,求++…+的值.［师］此题中涉及到的都是二项式系数，请大家通过思考来寻求已知与所求的内在联系.［生丁］从所求化简可知++…+=2n.［生戊］丁同学的叙述有错误，因为++…+=2n,故有++…+=2n-1.［师］很好，大家也应注意公式或性质的正确应用，请丁同学继续说.［生丁］从所求来看只需通过已知求出n即可.由于已知等式的左端1+2+22+…+2n·网站：http://www.zbjy.cn论坛：http://bbs.zbjy.cn版权所有@中报教育网2与二项式(1+x)n的二项展开式1+x·+x2·+…+xn·的二项展开式1+x·+x2·+…+xn·的结构一样，若令其中的x=2便可得到已知条件的左端，故可以逆用二项式定理，将已知1+2+22·+…+2n·转化为(1+2)n=3n,再由3n=2187=37解得n=7，再代入2n-1便达到求解的目的.解： 1+2+22·+…+2n·=(1+2)n=3n,∴3n=2187=37.∴n=7.又 +++…+=2n,∴++…+=2n-1.∴++…+=++…+=27-1=127.［例3］求证：1+2+22+…+25n-1能被31整除.［师］请大家考虑1+2+22+…+25n-1如何化简，并且与二项式定理产生联系.［生己］通过等比数列求和将1+2+22+…+25n-1化简为=32n-1，然后将32分解为31+1，再利用二项展开式展开，考查每一项都能被31整除，从而达到求证目的.［师］很好，解此类题的关键在于依据除式的形式构造相应的二项式，并在展开式中分解出相应的因数，而且此题顺便考查了等比数列的求和公式，下面请大家完善一下.解：1+2+…+25n-1==32n-1=(31+1)n-1=31n+·31n-1+…+·31+-1=31n+·31n-1+…+·31=31·(31n-1+·31n-2+…+), 31n-1,·31n-2,…,都是整数，∴原式可被31整除.Ⅲ.课堂练习1.求()9的展开式中的有理项.分析：因为只需求出展开式中的有理项，所以可运用通项公式求解.解： Tr+1=()9-r(-)r=(-1)r·,其中r=0,1,2,…,9.∴由题意得应为整数.网站：http://www.zbjy.cn论坛：http://bbs.zbjy.cn版权所有@中报教育网3r=0,1,2,…,9.∴经检验，知r=3和r=9.∴展开式中的有理项为T4=-·x4=-84x4,T10=-·x3=-x3.2.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,求(1)a1+a2+…+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6.分析：(1-2x)7...
