3.5.2简单线性规划教案教学目标(1)了解线性规划的意义、了解可行域的意义;(2)掌握简单的二元线性规划问题的解法.(3)巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法;(4)会用画网格的方法求解整数线性规划问题.(5)培养学生的数学应用意识和解决问题的能力.教学重点、难点二元线性规划问题的解法的掌握.教学过程一.问题情境1.问题:在约束条件410432000xyxyxy下,如何求目标函数2Pxy的最大值?二.建构数学首先,作出约束条件所表示的平面区域,这一区域称为可行域,如图(1)所示.其次,将目标函数2Pxy变形为2yxP的形式,它表示一条直线,斜率为,且在y轴上的截距为P.平移直线2yxP,当它经过两直线410xy与4320xy的交点5(,5)4A时,直线在y轴上的截距最大,如图(2)所示.因此,当5,54xy时,目标函数取得最大值5257.54,即当甲、乙两种产品分别用心爱心专心生产54t和5t时,可获得最大利润7.5万元.这类求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题,通常称为线性规划问题.其中5(,5)4使目标函数取得最大值,它叫做这个问题的最优解.对于只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决.说明:平移直线2yxP时,要始终保持直线经过可行域(即直线与可行域有公共点).三.数学运用例1.设2zxy,式中变量,xy满足条件4335251xyxyx,求z的最大值和最小值.解:由题意,变量,xy所满足的每个不等式都表示一个平面区域,不等式组则表示这些平面区域的公共区域.由图知,原点(0,0)不在公共区域内,当0,0xy时,20zxy,即点(0,0)在直线0l:20xy上,作一组平行于0l的直线l:2xyt,tR,可知:当l在0l的右上方时,直线l上的点(,)xy满足20xy,即0t,而且,直线l往右平移时,t随之增大.由图象可知,当直线l经过点(5,2)A时,对应的t最大,当直线l经过点(1,1)B时,对应的t最小,所以,max25212z,min2113z.例2.设610zxy,式中,xy满足条件4335251xyxyx,求z的最大值和最小值.解:由引例可知:直线0l与AC所在直线平行,则由引例的解题过程知,用心爱心专心OyxACB430xy1x35250xy当l与AC所在直线35250xy重合时z最大,此时满足条件的最优解有无数多个,当l经过点(1,1)B时,对应z最小,∴max61050zxy,min6110116z.例3.已知,xy满足不等式组230236035150xyxyxy,求使xy取最大值的整数,xy.解:不等式组的解集为三直线1l:230xy,2l:2360xy,3l:35150xy所围成的三角形内部(不含边界),设1l与2l,1l与3l,2l与3l交点分别为,,ABC,则,,ABC坐标分别为153(,)84A,(0,3)B,7512(,)1919C,作一组平行线l:xyt平行于0l:0xy,当l往0l右上方移动时,t随之增大,∴当l过C点时xy最大为6319,但不是整数解,又由75019x知x可取1,2,3,当1x时,代入原不等式组得2y,∴1xy;当2x时,得0y或1,∴2xy或1;当3x时,1y,∴2xy,故xy的最大整数解为20xy或31xy.例4.投资生产A产品时,每生产100吨需要资金200万元,需场地200平方米,可获利润300万元;投资生产B产品时,每生产100米需要资金300万元,需场地100平方米,可获利润200万元.现某单位可使用资金1400万元,场地900平方米,问:应作怎样的组合投资,可使获利最大?分析:这是一个二元线性规划问题,可先将题中数据整理成下表,以方便理解题意:资金(百万元)场地(平方米)利润(百万元)A产品223B产品312限制149用心爱心专心ABCxyO1l3l2l然后根据此表数据,设出未知数,列出约束条件和目标函数,最后用图解法求解解:设生产A产品x百吨,生产B产品y米,利润为S百万元,则约束条件为23142900xyxyxy,目标函数为32Sxy.作出可行域(如图),将目标函数变形为322Syx,它表示斜率为32,在y轴上截距为2S的直线,平移直线322Syx,当它经过...