第三十四课时函数模型及其应用（2）【学习导航】知识网络学习要求1．能用指数函数、对数函数解决如复利、人口增长等与增长率有关的问题，2．提高学生根据实际问题建立函数关系的能力.自学评价1.复利把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息．（就是人们常说的“利滚利”）．设本金为p，每期利率为r，存期为x，则本金与利息和．2.单利在计算每一期的利息时，本金还是第一期的本金．设本金为p，每期利率为r，存期为x，则本金与利息和．3．在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，可以用公式表示．【精典范例】例1：物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是OT,经过一定时间t后的温度是T,则1()()2thaoaTTTT,其中aT表示环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88c热水冲的速容咖啡,放在24c的房间中,如果咖啡降到40c需要20min,那么降温到35c时,需要多长时间?点评:本题是利用已知的函数模型来解决物理问题，需由已知条件先确定函数式，然后再求解.本题的实质为已知自变量的值，求对应的函数值的数学问题，由于运算比较复杂，要求学生借助计算器进行计算.例2：现有某种细胞100个，其中有占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时细胞总数可以超过1010个？（参考数据：lg30.477,lg20.301）.分析：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，用心爱心专心1待定系数法服务函数模型（指、对数）实际问题（增长率）函数模型的结果点评:本例用归纳猜想的方法得出了细胞总数y与时间x之间的函数关系式；解类似xab这类的不等式，通常在不等式两边同时取对数，利用对数函数的单调性求解．这种通过观察几个特殊值的特征，从而归纳出函数一般表达式的方法叫做“不完全归纳法”，是高中数学中非常重要的一种方法．例3：某公司拟投资100万元，有两种获利的可能可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？参考数据：51.091.5386，461.091.4116,1.091.6771分析：可分别根据复利与单利的计算方法，分别计算出本息和，再进行比较，判断优劣．点评：我国现行的定期储蓄中的自动转存业务是一种类似复利计息的储蓄．追踪训练一1．某工厂的一种产品的年产量第二年比第一年增加21%，第三年比第二年增加44%，求这两年的平均增长率．2．在银行进行整存整取的定期储蓄，当到期时，银行会将本息和进行自动转存，某人2005年3月1日在银行存入10000元的一年定期，年利为2.25%，若他暂时不取这笔钱，当到2010年3月1日时，该笔存款的本息和为多少元？（精确到0.01元）3.已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，计算经过多少年剩留原来质量的一半？分析：设原来的质量为1，由题意可知经过100乘1年剩留0.9576，经过100乘2年剩留20.9576，……经过100乘x年剩留0.9576x，依题意有10.95762x用心爱心专心2【选修延伸】一、函数与图像高考热点1.（1998全国文11，理10）向高为H的水瓶中注水，注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（）【解】答案B分析：如上图所示，取水深2Hh时，注水量0'2VVV，即水深至一半时，实际注水量大于水瓶总水量之半.A中0'2VV，C、D中0'2VV，故排除A、C、D，选B.思维点拔：（1）解答应用题的基本步骤：①设：合理、恰当的设出变量；②写：根据题意，抽象概括数量关系，并能用数学语言表示，得到数学问题；③算：对所得数学问题进行分析、运算、求解；④答：将数学问题的解还原到生活实际问题，给出最终的答案.（2）在用数学方法解决实际问题时的能力要求有：①阅读理解能力；②抽象概括能力；③数学语言的运用能力；④分析、解决数学问题的能力.（3）分析图表是数学应用的一个重要方面，特别要能够结合图表分析函数，应好好体会．追踪训练二1．我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控手段以...
