§4数据的数字特征4．1平均数、中位数、众数、极差、方差4．2标准差学习目标核心素养1.会求一组数据的平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差．(重点)2．方差、标准差在实际问题中的应用．(难点)1.通过求一组数据的平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差，培养数学运算素养．2．通过方差、标准差在实际问题中的应用，提升数据分析素养.一、平均数、中位数、众数1．众数的定义一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个．2．中位数的定义及求法把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，把处于最中间位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数．3．平均数的定义如果有n个数x1，x2，…，xn，那么＝，叫作这n个数的平均数．二、极差、方差、标准差1．标准差、方差(1)标准差的求法：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．s＝.(2)方差的求法：标准差的平方s2叫作方差．s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]其中，xn是样本数据，n是样本容量，是样本均值．(3)方差的简化计算公式：s2＝[(x＋x＋…＋x)－n2]＝(x＋x＋…＋x)－2.2．极差一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差．3．数字特征的意义平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势，极差、方差刻画了一组数据的离散程度．思考：一组数据的众数可以有多个吗？中位数是否也有相同的结论？[提示]一组数据的众数可能有一个，也可能有多个，但中位数有且只有一个．1．已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80，其中平均数，中位数和众数的大小关系是()A．平均数＞中位数＞众数B．平均数＜中位数＜众数C．中位数＜众数＜平均数D．众数＝中位数＝平均数D[可得该组数据的平均数、中位数和众数均为50.]2．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本方差为()A.B.C.D．2D[ 样本的平均数为1，即×(a＋0＋1＋2＋3)＝1，∴a＝－1，∴样本方差s2＝×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.]3．一次选拔运动员的测试中，测得7名选手中的身高(单位：cm)分布的茎叶图如图所示．记录的平均身高为177cm，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，则x等于()18011703x89A.5B．6C．7D．8D[由题意知，10＋11＋0＋3＋x＋8＋9＝7×7，解得x＝8.]4．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4则：(1)平均命中环数为________；(2)命中环数的标准差为________．(1)7(2)2[(1)＝＝7.(2) s2＝[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.]平均数、中位数、众数的计算【例1】在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：成绩(单位：m)1.501.601.651.701.751.801.851.90人数23234111分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数．[解]在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.题表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70.这组数据的平均数是＝(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝≈1.69.所以这17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75,1.70,1.69.中位数、众数、平均数的应用要点中位数、众数反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”，平均数反映了数据的平均水平，我们需根据实际需要选择使用．(1)求中位数的关键是将数据排序，一般按照从小到大的顺序排列．中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响．中位数可能在所给数据中，也可能不在所给数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述数据的集中趋势．(2)确定众数的关键是统计各数据出现的频数，频数最大的数据就是众数．当一组数据中有不少数据多次重复出现时，众数往往更能反映数据的集中趋势．(3)平均数与每一个样本数据都有关，受个别极端数据(比其他数据大很多或小很多的数据)的影响较大，因此若在数据中存在少量极端数据，平均数对总体估计的可靠性较差，这时往往用众数或中位数去...
