高中数学 第1章 立体几何初步 1.2.3 直线与平面的位置关系（第2课时）直线与平面垂直讲义 苏教版必修2-苏教版高一必修2数学教案VIP免费

第2课时直线与平面垂直学习目标核心素养1．能正确判断直线与平面垂直的位置关系．(重点)2．了解点到平面的距离和直线与平面间的距离．(难点)3．理解直线与平面垂直的判定定理和性质定理．(重点、难点)4．了解直线与平面垂直的概念及直线与平面所成角的概念．(重点)通过学习本节内容来提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.1．直线与平面垂直的定义如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，则称直线a与平面α互相垂直，符号表示：a⊥α．直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足．图形表示：2．直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面a⊥α3.直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行⇒a∥b4.距离及直线与平面所成的角(1)距离①点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离．②直线和平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离．(2)直线与平面所成的角平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．特别地：如果直线和平面垂直，那么就说这条直线与平面所成的角是直角；如果直线与平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角．1.思考辨析(1)若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α.()(2)若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．()(3)若a∥b，aα，l⊥α，则l⊥b.()(4)若l⊥平面ABCD，则l⊥BC.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是()A．l与平面α内的两条直线垂直B．l与平面α内的无数条直线垂直C．l与平面α内的某一条直线垂直D．l与平面α内的任意一条直线垂直D[由直线与平面垂直的定义及判定定理知D正确．]3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB＝1，则点C到平面B1BDD1的距离为________，AB到平面A1B1CD的距离为________．[连结AC，BD，则AC⊥BD，又BB1⊥AC，故AC⊥平面B1BDD1，所以点C到平面B1BDD1的距离为AC＝，AB到平面A1B1CD距离等于A到该平面的距离，等于.]4．如图所示，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．45°[ PA⊥平面ABC，∴∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角，在Rt△PAB中，PA＝AB，∴∠PBA＝45°.]线面垂直的定义及判定定理的应用【例1】如图所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.思路探究：只要证AE垂直于平面PBC内两相交直线即可，已知AE⊥PC，再证AE⊥BC，即转为证BC垂直于平面PAC即可．[证明] PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又 AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又 AE平面PAC，∴BC⊥AE. PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.1.用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时，需在平面内找两条相交直线，证明一条直线同时垂直于这两条相交直线，这是证明线面垂直的一个常用方法．2.线线垂直与线面垂直的转化关系线线垂直线面垂直1.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.[证明] E，F分别是棱AB，BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC. ABCD为正方形，∴AC⊥BO，EF⊥BO.又 BB1⊥平面ABCD，EF平面ABCD，∴EF⊥BB1.又BO∩BB1＝B，∴EF⊥平面BB1O.线面垂直性质定理的应用【例2】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.思路探究：利用线面垂直的性质定理证明EF，BD1垂直于平面AB1C可得结论．[证明]如图所示，连结AB1，B1C，BD，B1D1， DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C. EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.空间中证明两条直线平行的方法(1)利...