第1章三角函数任意角的三角函数概念(1)已知角α的终边过点P(－4m,3m)(m≠0)，则2sinα＋cosα的值是________．(2)函数y＝＋的定义域是________．思路点拨：(1)根据三角函数的定义求解，注意讨论m的正负．(2)利用三角函数线求解．(1)或－(2)[(1)r＝|OP|＝＝5|m|.当m>0时，sinα＝＝＝，cosα＝＝＝－，∴2sinα＋cosα＝.当m<0时，sinα＝＝＝－，cosα＝＝＝，∴2sinα＋cosα＝－.故2sinα＋cosα的值是或－.(2)由得如图，结合三角函数线知：解得2kπ≤x≤2kπ＋(k∈Z)，∴函数的定义域为1.]三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：1任意角和弧度制.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算.2任意角的三角函数.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域.1．(1)已知角α的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴．若角α的终边经过点P(－，y)，且sinα＝y(y≠0)，判断角α所在的象限，并求cosα和tanα的值；(2)若角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋的值．[解](1)依题意，点P到原点O的距离为|PO|＝，∴sinα＝＝＝y. y≠0，∴9＋3y2＝16，∴y2＝，∴y＝±.∴点P在第二或第三象限．当点P在第二象限时，y＝，cosα＝＝－，tanα＝－.当点P在第三象限时，y＝－，cosα＝＝－，tanα＝.(2)设角α终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则r＝＝＝|k|.当k>0时，r＝k.∴sinα＝＝－，＝＝.∴10sinα＋＝－3＋3＝0.当k<0时，r＝－k.∴sinα＝＝，＝＝－.∴10sinα＋＝3－3＝0.综上，10sinα＋＝0.同角三角函数的基本关系与诱导公式已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sinθ，cosθ，θ∈(0,2π)．求：(1)＋；(2)m的值；(3)方程的两根及此时θ的值．思路点拨：先利用根与系数的关系得到sinθ＋cosθ与sinθcosθ，再利用诱导公式和三角函数的基本关系式求解．[解]由根与系数的关系，得sinθ＋cosθ＝，sinθcosθ＝.(1)原式＝＋＝＋＝－＝sinθ＋cosθ＝.(2)由sinθ＋cosθ＝，两边平方可得1＋2sinθcosθ＝，1＋2×＝1＋，m＝.(3)由m＝可解方程2x2－(＋1)x＋＝0，得两根和.∴或 θ∈(0,2π)，∴θ＝或.2同角三角函数的基本关系和诱导公式是三角恒等变换的主要依据，主要应用方向是三角函数式的化简、求值和证明.常用以下方法技巧：1化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形.2化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再化简变形.3“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将1代换为三角函数式.2．已知f(α)＝.(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝，且<α<，求cosα－sinα的值；(3)若α＝－，求f(α)的值．[解](1)f(α)＝＝sinα·cosα.(2)由f(α)＝sinα·cosα＝可知，(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinα·cosα＋sin2α＝1－2sinα·cosα＝1－2×＝.又 <α<，∴cosα0，A>0,0<φ<的周期为π，f＝＋1，且f(x)的最大值为3.(1)写出f(x)的表达式；(2)写出函数f(x)的对称中心，对称轴方程及单调区间；(3)求f(x)在区间上的最大值和最小值．思路点拨：(1)由T＝求ω，由f(x)的最大值为3求A，由f＝＋1，求φ.(2)把ωx＋φ看作一个整体，结合y＝sinx的单调区间与对称性求解．(3)由x∈求出ωx＋φ的范围，利用单调性求最值．[解](1) T＝π，∴ω＝＝2. f(x)的最大值为3，∴A＝2.∴f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1. f＝＋1，∴2sin＋1＝＋1，∴cosφ＝. 0<φ<，∴φ＝.∴f(x)＝2sin＋1.(2)由f(x)＝2sin＋1，3令2x＋＝kπ，得x＝－(k∈Z)，∴对称中心为(k∈Z)．由2x＋＝kπ＋，得x＝＋(k∈Z)，∴对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴f(x)的单调增区间为(k∈Z)．由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，得kπ＋≤x≤kπ...
