高中数学 第1章 三角函数 1.3.4 三角函数的应用讲义 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学教案VIP免费

1.3.4三角函数的应用学习目标核心素养(教师独具)1.会用三角函数解决一些简单的实际问题．(重点)2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．(难点)通过学习本节内容提升学生的直观想象和数学建模核心素养.三角函数模型的应用(1)三角函数模型的应用①根据实际问题的图象求出函数解析式．②将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．③利用收集的数据，进行函数拟合，从而得到函数模型．(2)解答三角函数应用题的一般步骤思考：在函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)中，A，b与函数的最值有何关系？提示：A，b与函数的最大值ymax，最小值ymin关系如下：(1)ymax＝A＋b，ymin＝－A＋b；(2)A＝，b＝.1．思考辨析(1)函数y＝sinx在内是增函数．()(2)函数y＝3sinx－1的最大值为3.()(3)直线x＝π是函数y＝sinx的一条对称轴．()(4)函数y＝sin[π(x－1)]的周期为2.()[答案](1)√(2)×(3)×(4)√2．求下列函数的周期：(1)y＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝________；(2)y＝Acos(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝________；(3)y＝Atan(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝________；[答案](1)(2)(3)3．某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为________．80[ T＝＝，∴f＝＝80.]1三角函数在物理学中的应用【例1】已知电流I＝Asin(ωt＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜在一个周期内的图象如图．(1)根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？思路点拨：可先由图象确定电流I的解析式，再由函数的性质确定ω的值．[解](1)由图知，A＝300.＝－＝，∴T＝，∴ω＝＝150π.I＝300sin(150πt＋φ)．由为第一个关键点，∴150π·＋φ＝0，∴φ＝，∴所求解析式为I＝300sin，t∈[0，＋∞)．(2)由题意T≤，即≤，∴ω≥300π≈942.5，∴所求ω的最小正整数值是943.1．三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、电流强度、单摆、弹簧振子等随时间变化的问题，解决这类问题必须要清楚振幅、频率、周期、初相、相位的实际意义和表示方法．2．将图形语言转化成符号语言，根据图形信息利用待定系数法，求函数模型y＝Asin(ωx＋φ)中的未知参数后，再由解析式及性质解决具体问题．1．已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？(3)经过多长时间小球往复振动一次？[解]列表如下，t－2t＋0π2πsin010－10s040－40描点、连线，图象如图所示．2(1)将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin＝2，所以小球开始振动时的位移是2cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4cm和－4cm.(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是πs.三角函数在实际生活中的应用【例2】如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请回答下列问题：(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？思路点拨：→→→[解](1)可以用余弦函数来表示该函数的关系式，由已知，可设y＝40.5－40cosωt，t≥0，由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝.所以y＝40.5－40cost(t≥0)．(2)设转第1圈时，第t0分钟时距地面60.5米，由60.5＝40.5－40cost0，得cost0＝－，所以t0＝或t0＝，解得t0＝8或4.所以t＝8分钟时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．三角函数在实际生活中的应用问题一般分两种类型1已知函数模型，利用题目中提供的数据和有关性质解决问题，其关键是求出函数解析式中的参数，将实际问题转化为三角方程或三角不等式，然...