高中数学 第1章 三角函数 1.2.2 同角三角函数关系讲义 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学教案VIP免费

1.2.2同角三角函数关系学习目标核心素养(教师独具)1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，tanα＝.(重点)2.能正确运用上述关系式进行化简、求值和证明．(重点、难点)通过学习本节内容提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.同角三角函数的基本关系1．平方关系：sin2α＋cos2_α＝1.2．商数关系：tanα＝.思考：sin2α＋cos2β＝1恒成立吗？[提示]不一定．1．思考辨析(1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立．()(2)对任意角α，＝tan都成立．()(3)若sinα＝，则cosα＝.()[解析](1)√.符合同角三角函数的关系．(2)×.等式＝tan的条件是即α≠π＋2kπ，k∈Z.(3)×.因为α的范围不明确，故cosα＝±＝±.[答案](1)√(2)×(3)×2．已知α是第二象限角，且cosα＝－，则tanα＝________.－2[ α是第二象限角，∴sinα＞0.又sin2α＋cos2α＝1，∴sinα＝＝＝，∴tanα＝＝－2.]3．已知tanα＝2，则＝________.－[由tanα＝2知cosα≠0，所以＝＝－.]利用同角基本关系式求值【例1】(1)已知sinα＝－，求cosα，tanα的值；(2)已知sinα＋2cosα＝0，求2sinαcosα－cos2α的值．思路点拨：(1)―――――――→――――――→1(2)先由已知条件求出tanα，再将式子化成关于tanα的形式，代入求解，也可直接代入，利用平方关系化简．[解](1)因为sinα＜0，sinα≠－1，所以α是第三或第四象限角．由sin2α＋cos2α＝1得cos2α＝1－sin2α＝1－2＝.如果α是第三象限角，那么cosα＜0.于是cosα＝－＝－，从而tanα＝＝×＝.如果α是第四象限角，那么cosα＝，tanα＝－.(2)法一：由sinα＋2cosα＝0，得tanα＝－2.所以2sinαcosα－cos2α＝＝＝＝－1.法二：由sinα＋2cosα＝0得2cosα＝－sinα，所以2sinαcosα－cos2α＝－sin2α－cos2α＝－(sin2α＋cos2α)＝－1.1．求三角函数值的方法(1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方式求解(2)已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用以下方式求解当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．2．已知角α的正切求关于sinα，cosα的齐次式的方法(1)关于sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值．(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值．1．已知tanα＝－2，求sinα，cosα的值．[解]法一： tanα＝－2<0，∴α为第二或第四象限角，且sinα＝－2cosα，①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②消去sinα，得(－2cosα)2＋cos2α＝1，即cos2α＝；当α为第二象限角时，cosα＝－，代入①得sinα＝；当α为第四象限角时，cosα＝，代入①得sinα＝－.法二： tanα＝－2<0，∴α为第二或第四象限角．由tanα＝，两边分别平方，得tan2α＝，又sin2α＋cos2α＝1，∴tan2α＋1＝＋1＝＝，2即cos2α＝.当α为第二象限角时，cosα<0，∴cosα＝－＝－＝－，∴sinα＝tanα·cosα＝(－2)×＝.当α为第四象限角时，cosα>0，∴cosα＝＝＝，∴sinα＝tanα·cosα＝(－2)×＝－.三角函数式的化简、求值【例2】(1)化简：；(2)若角α是第二象限角，化简：tanα.思路点拨：(1)―→――→(2)―→[解](1)原式＝＝＝＝1.(2)原式＝tanα＝tanα＝×，因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，所以原式＝×＝×＝－1.化简三角函数式的常用方法：1切化弦，即把非正弦、余弦函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数种类以便化简.2对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.3对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的.提醒：在应用平方关系式求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象.2．化简：(1)；(2).[解](1)原式＝＝＝＝＝1.(2)原式＝＝＝cosθ.三角函数式的证明【例3】求证：＝.思路点拨：从左边利用“1＝sin2x＋cos2x”及平方差公式推右边便可．[解] (sinx...