1.2.1任意角的三角函数学习目标核心素养(教师独具)1.理解三角函数的定义，会使用定义求三角函数值．(重点、易错点)2.会判断给定角的三角函数值的符号．(重点)3.会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围．(难点)通过学习本节内容提升学生的数学运算和数学抽象核心素养.一、任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝>0)，那么名称定义定义域正弦sinα＝R余弦cosα＝R正切tanα＝sinα，cosα，tanα分别称为正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数．思考1：对于确定的角α，sinα，cosα，tanα的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？[提示]不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．思考2：若P为角α与单位圆的交点，sinα，cosα，tanα的值怎样表示？[提示]sinα＝y，cosα＝x，tanα＝.二、三角函数在各象的限符号三、三角函数线1．有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段．2．三角函数线11．思考辨析(1)α一定时，单位圆的正弦线一定．()(2)在单位圆中，有相同正弦线的角必相等．()(3)α与α＋π有相同的正切线．()[解析]结合三角函数线可知(1)(3)正确，(2)错误．[答案](1)√(2)×(3)√2．若角α的终边经过点P，则sinα＝________；cosα＝________；tanα＝________.－－1[由题意可知|OP|＝＝1，∴sinα＝＝－；cosα＝＝；tanα＝＝－1.]3．(1)若α在第三象限，则sinαcosα________0；(填“＞”“＜”)(2)cos3tan4________0.(填“>”“<”)(1)＞(2)＜[(1) α在第三象限，∴sinα＜0，cosα＜0，∴sinαcosα＞0.(2) <3<π，π<4<，∴3是第二象限角，4是第三象限角．∴cos3<0，tan4>0.∴cos3tan4<0.]三角函数的定义及应用【例1】在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y＝－2x上，求sin2α，cosα，tanα的值．思路点拨：以α的终边分别在第二、四象限为依据，分别取特殊点求sinα，cosα，tanα的值．[解]当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P(－1，2)，则r＝＝，所以sinα＝＝，cosα＝＝－，tanα＝＝－2.当α的终边在第四象限时，在α终边上取一点P′(1，－2)，则r＝＝，所以sinα＝＝－，cosα＝＝，tanα＝＝－2.1．已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法：(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sinα＝，cosα＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．1．已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cosθ＝x，求sinθ，tanθ.[解]由题意知r＝|OP|＝，由三角函数定义得cosθ＝＝.又 cosθ＝x，∴＝x. x≠0，∴x＝±1.当x＝1时，P(1,3)，此时sinθ＝＝，tanθ＝＝3.当x＝－1时，P(－1,3)，此时sinθ＝＝，tanθ＝＝－3.三角函数值的符号【例2】(1)若α是第四象限角，则点P(cosα，tanα)在第________象限．(2)判断下列各式的符号：①sin183°；②tan；③cos5.思路点拨：先确定各角所在的象限，再判定各三角函数值的符号．(1)四[ α是第四象限角，∴cosα>0，tanα<0，∴点P(cosα，tanα)在第四象限．](2)[解]① 180°<183°<270°，∴sin183°<0；② <<2π，∴tan<0；③ <5<2π，3∴cos5>0.对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理.2．确定下列式子的符号：(1)tan108°·cos305°；(2)；(3)tan120°·sin269°.[解](1) 108°是第二象限角，∴tan108°＜0. 305°是第四象限角，∴cos305°＞0.从而tan108°·cos305°＜0.(2) 是第二象限角，是第四象限角，是第二象限角，∴cos＜0，tan＜0，sin＞0.从而＞0.(3) 120°是第二象限角，∴tan120°＜0， 269°是第三象限角，∴sin269°＜0.从而tan120°sin269°＞0.应用三角函数线解三角不等...
