利用函数性质判定方程解的存在一、教材的地位与作用利用函数性质判定方程解的存在是建立在运用函数模型的大背景下展开的，是学习第二节“利用二分法求方程的近似解”的理论基础,同时也要为后续学习的算法埋下伏笔.由此可见，它起着承上启下的作用，与整章、整个高中数学课程综合成一个整体，学好本节意义重大。二、教学目标1.知识与技能让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图像性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点．2.过程与方法通过研究具体二次函数，探究函数存在零点的判定方法。从具体到一般的认知过程中培养学生自主发现、探究实践的能力，并渗透相关的数学思想。3.情感、态度与价值观：让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；三、教学重难点教学重点：体会函数的零点与方程的根之间的关系，掌握函数零点存在定理,能结合图象求解零点问题。教学难点：（1）引导学生探究发现函数零点的概念及零点定理；（2）函数零点个数的确定四、教法学法与教具实例引入、探究新知、实践探索、总结提炼、总结、反思，勇于探索的学习方式，运用数形结合、教师引导——学生探索相结合的教学方法，学生亲身经历、感受来获取知识，培养学生观察、发现、抽象与概括、运算求解等思维过程。教具:多媒体五、教学过程问题：请同学们思考这个问题．用屏幕显示判断下列方程是否有实根，有几个实根？(1)；(2)设计意图：对于第一个问题大家都习惯性地用代数的方法去解决，第二个方程我们不会解怎么办？你是如何思考的？有什么想法？目的引入方程的根与零点的概念。用屏幕显示函数的图象，观察图象，用屏幕显示表格，让学生填写的实数根和函数图象与x轴的交点．得到方程的实数根与函数图象与轴交点的横坐标的对应关系．设计意图：结合函数零点的定义和我们刚才的探究过程，你认为方程的根与函数的零点究竟是什么关系？对于函数有零点，从“数”的角度理解，就是方程有实根，从“形”的角度理解，就是图象与轴有交点．从我们刚才的探究过程中，我们知道，1方程有实根和图象与轴有交点也是等价的关系．所以函数零点实际上是方程有实根和图象与轴有交点的一个统一体。观察二次函数的图像，我们发现函数在区间上有零点．计算与的乘积，发现这个乘积特点是小于零．在区间同样如此．可以发现，，因此可得以下结论：若函数在闭区间上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即，则在区间内，函数至少有一个零点，即相应的方程在区间内至少有一个实数解．设计意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数，为得到零点概念做好铺垫．例题讲解：例2已知函数。问：方程在区间内有没有实数解？为什么？活动：学生回想判断函数零点的方法：解方程法和定理法．由于本题中方程无法解，故用定理法，判断是否成立．解：，函数的图像是连续曲线，所以在区间内有零点，即在区间内有实数解．点评：本题主要考查函数零点的概念及其判断方法．当无法解方程时，通常用定理法判断函数零点的存在性。2例3判定方程有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2.分析：转化判断函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1在(－∞，2)和(5，＋∞)内各有一个零点．解：考虑函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1，有f(5)＝(5－2)(5－5)－1＝－1f(2)＝(2－2)(2－5)－1＝－1.又因为f(x)的图像是开口向上的抛物线(如图7)，所以抛物线与横轴在(5，＋∞)内有一个交点，在(－∞，2)内也有一个交点．图7所以方程(x－2)(x－5)＝1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2.点评：讨论函数零点个数问题是函数的重要应用，由于函数与方程的特殊关系，所以这个问题常用的方法是：(1)解方程；(2)画图像；(3)利用f(a)f(b)＜0及函数的单调性；同时这些方法是有机联系的．六、课堂小结①零点的概念；②零点的判断方法；③利用函数的单调性证明零点的个数；④零点的应用；⑤数学思想：转化思想、数形结合思想．七、作业布置P119A1，43
