1.1.3导数的几何意义教学目标：1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2．理解曲线的切线的概念；3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义．教学过程：一．创设情景（一）平均变化率、割线的斜率（二）瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，导数0()fx的几何意义是什么呢？二．新课讲授（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当(,())(1,2,3,4)nnnPxfxn沿着曲线()fx趋近于点00(,())Pxfx时，割线nPP的变化趋势是什么？我们发现,当点nP沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线nPP趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.用心爱心专心1图3.1-2问题：⑴割线nPP的斜率nk与切线PT的斜率k有什么关系？⑵切线PT的斜率k为多少？容易知道，割线nPP的斜率是00()()nnnfxfxkxx,当点nP沿着曲线无限接近点P时，nk无限趋近于切线PT的斜率k，即0000()()lim()xfxxfxkfxx说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质—函数在0xx处的导数.（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.（二）导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点00(,())xfx处的切线的斜率，即0000()()()limxfxxfxfxkx说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P点的坐标;②求出函数在点0x处的变化率0000()()()limxfxxfxfxkx，得到曲线在点00(,())xfx的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.（二）导函数：由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,0()fx是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：()fx或y，即:0()()()limxfxxfxfxyx注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．（三）函数()fx在点0x处的导数0()fx、导函数()fx、导数之间的区别与联系。（1）函数在一点处的导数0()fx，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。(2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f(x)的导函数(3）函数()fx在点0x处的导数'0()fx就是导函数()fx在0xx处的函数值，这也是求函数用心爱心专心2在点0x处的导数的方法之一。三．典例分析例1:（1）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.（2）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.解：（1）222100[(1)1](11)2|limlim2xxxxxxyxx,所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为22(1)yx即20xy（2）因为222211113313(1)|limlimlim3(1)611xxxxxxyxxx所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为36(1)yx即630xy（2）求函数f(x)=xx2在1x附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：xxxxxy32)1()1(2200(1)(1)2(1)limlim(3)3xxyxxfxxx例2．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2()4.96.510hxxx，根据图像，请描述、比较曲线()ht在0t、1t、2t附近的变化情况．解：我们用曲线()ht在0t、1t、2t处的切线，刻画曲线()ht在上述三个时刻附近的变化情况．（1）当0tt时，曲线()ht在0t处的切线0l平行于x轴，所以，在0tt附近曲线比较平坦，几乎没有升降．（2）当1tt时，曲线()ht在1t处的切线1l的斜率1()0ht，所以，在1tt附近曲线下降，即函数2()4.96.510hxxx在1tt附近单调递减．用心爱心专心3（3）当2tt时，曲线()ht在2t处的切...
