高中数学专题教学研习讲稿高中数学专题教学研习高中数学专题教学研习专题：抽象函数（选学）专题：抽象函数（选学）基本知识点基本知识点（（LevelLevelAA））【1】抽象函数的定义抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题．【2】关于奇偶性与单调性的关系（1）如果奇函数在区间上是递增的，那么函数在区间上也是递增的；（2）如果偶函数在区间上是递增的，那么函数在区间上是递减的．【3】函数的周期性（主见于三角函数）（1）周期性的定义：对定义域内的任意，若有（其中为非零常数），则称函数为周期函数，为它的一个周期．所有正周期中最小的称为函数的最小正周期．如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期．（2）由周期函数的定义“函数满足，则是周期为的周期函数”得几个函数方程的周期（约定）．函数满足或或或或的周期为．（3）三角函数的周期：特殊三角函数的周期：①；②；③；一般三角函数的周期：①；；②．经典案例有疑问随时mail例：（1）设是上的奇函数，，当时，，则．答案：．（2）定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若是锐角三角本资源由专人彭剑平整理，未经允许不得复制影印，资源仅供教师研习，欢迎批评指正．说明：LevelA为基本（要求熟悉掌握），LevelB为高考（常考规律总结），LevelC为竞赛（拓展的课外知识）．注：本资源仅提供pdf版本．交流：博客：http://blog.sina.com.cn/ansontop邮箱：anson_top@163.com第1页共8页内部资料，不得翻印！形的两个内角，则的大小关系为答案：．（3）已知是偶函数，且，是奇函数，求的值．答案：．（4）设是定义域为的函数，且，又，则．答案：．【4】借助具体函数“模拟”抽象函数求解抽象函数问题的常用方法是：（1）借助模型函数探究抽象函数：①正比例函数型：，．②指数函数型：，，．③对数函数型：，，．④幂函数型：，，．⑤三角函数型：，，，，．，．（2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究．（3）利用一些方法（如赋值法（令或，求出或、令或等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究．如：①，满足，证明为奇函数．令：，令，……②，满足，证明为偶函数．令，故，从而，……第2页共8页高中数学专题教学研习讲稿③证明单调性：……经典案例有疑问随时mail例：（1）已知是定义在上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为，则．答案：．（2）（函数的性质）设是定义在实数集R上的函数，且满足，如果，，求．答案：．（3）（函数的性质）如设是定义在上的奇函数，且，证明：直线是函数图象的一条对称轴．答案：略．（4）（函数的性质）已知定义域为的函数满足，且当时，单调递增。如果，且，则的值的符号是．答案：负号．（5）（其余性质）若，满足，则的奇偶性是．答案：奇函数．（6）（其余性质）若，满足，则的奇偶性是．答案：偶函数．（7）（其余性质）已知是定义在上的奇函数，当时，的图像如右图所示，那么不等式的解集是．答案：．（8）（其余性质）设的定义域为，对任意，都有，且时，，又.①求证为减函数；②解不等式.答案：．拓展知识点拓展知识点（（LevelLevelBB））【1】函数图像的对称性——一个函数图像自身的对称性第3页共8页O123xy内部资料，不得翻印！性质1：对于函数，若存在常数，，使得函数定义域内的任意，都有的图像关于直线对称．注意：亦然．特例：当时，的图像关于直线对称．拓展：（这实际上是偶函数的一般情形）广义偶函数．性质2：对于函数，若存在常数，，使得函数定义域内的任意，都有的图像关于点对称．注意：亦然．特例：当时，的的图像关于点对称．拓展：（实际上是奇函数的一般情形）广义奇函数．【2】函数图像的对称性——单个表达式函数满足的条件对称轴（中心）满足的函数的图像（偶函数）推广：满足或或的函数的图像推广：满足的函数的图像满足的函数的图像（奇函数）推广：满足或或的函数的图像推广：满足的函数的图像推广：满足或的的函数的图像注意：这里代数关系式中两个“”（对应法则...
