垂径定理（1）VIP免费

问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少？实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：圆是轴对称图形，何一条直径所在直线都是它的对称轴．●O如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？·OBCDE活动二（1）圆是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴（2）线段：AE=BEA⌒⌒弧：ＡＣ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＢＤ⌒⌒垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．·OABCDE结论：AE=BE⌒⌒ＡＣ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＢＤ⌒⌒你能用语言表示上述结论吗？已知：AB是弦，CD是直径，CD⊥AB③AE=BE,由①CD是直径②CDAB⊥可推得⌒⌒⑤AD=BD.⌒⌒④AC=BC,ＤＣＡＢＥＯ垂径定理：老师提示:垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论如图,在下列五个条件中:●OABCDM└①CD是直径,③AM=BM,②CDAB,⊥⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.你可以写出相应的命题吗?并证明它。·OABCDE②CDAB,⊥由①CD是直径③AE=BE⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.可推得平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．Ｃ１、如图(1)，⊙O中，弦AB⊥弦CD于点Ｅ，则AＣ=BＣ２、如图(2)ＣＤ是直径，AB是弦，CD交ＡＢ交于点Ｅ，则AＥ=BＥ，AＣ=BＣ３、如图(3)，⊙O中，弦AB⊥直线CD于点Ｅ，则AＥ=BＥ４、如图(4)，⊙O中，弦AB⊥半径ＯD于点Ｅ，则AＥ=BＥ，ＡＤ＝ＢＤ︵︵︵︵︵︵ＡＢＯＣＤＥＡＢＯＡＢＯＡＢＯＡＢＯＣＤＥＤＥＤＥ如图（1）如图（2）如图（3）如图（4）解得：R≈27．9（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.72+（R－7.2）2∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2,7.184.372121ABADAB=37.4，CD=7.2，OD=OC－CD=R－7.2在图中AB⌒如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C，根据前面的结论，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高．⌒⌒⌒⌒例1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE解：222AOOEAE2222=3+4=5cmAOOEAE答：⊙O的半径为5cm.活动三118422AEAB在RtAOE△中过点O作OE⊥AB于点E,连结OA2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？证明：过O作OEAB⊥，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。∴AE－CE＝BE－DE即AC＝BD.ACDBOE1.在半径为30㎜的⊙O中，弦AB=36㎜，则O到AB的距离是=，OABP24mm注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法．例2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：909090OEAEADODA∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB1122AEACADAB，∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.∵OE⊥ACOD⊥ABAB⊥AC4、:如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E，∠CEB=30°，DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。EDOCAB图中相等的线段有:.ACDBO3、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，AB=8cm,CD=3cm,大圆的半径为５cm，求小圆的半径。EM练习2:在圆O中，直径CEAB⊥于D，OD=4㎝，弦AC=㎝，求圆O的半径。10DCEOAB反思：在⊙O中，若⊙O的半径r、圆心到弦的距离d、弦长a中，任意知道两个量，可根据定理求出第三个量：CBAO练习１：如图，圆O的弦AB＝8㎝，DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，求半径OC的长。DCEOAB垂径小结直径平分弦直径垂直于弦=>直径平分弦所对的弧直径垂直于弦直径平分弦（不是直径）直径平分弦所对的弧直径平分弧所对的弦直径平分弧直径垂直于弧所对的弦=>=>１、圆是轴对称图形，何一条直径所在直线都是它的对称轴．２、垂径定理及其逆定理的图式试一试P931111挑战自我画一画如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.●O●MAB