高等数学 直线及其方程VIP免费

第六节空间直线及其方程一、空间直线方程二、线面间的位置关系第七章xyzo12定义空间直线可看成两平面的交线．0:11111DzCyBxA0:22222DzCyBxA0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程L一、空间直线的一般方程xyzo方向向量的定义：如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量．sL),,,(0000zyxM0MM,LM),,,(zyxMsMM0//},,,{pnms},,{0000zzyyxxMM二、空间直线的对称式方程与参数方程pzznyymxx000直线的对称式方程tpzznyymxx000令ptzzntyymtxx000直线的一组方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦.直线的参数式方程例1求经过),,(),,,(22221111zyxMzyxM两点的直线方程。解因为直线过21,MM两点因此可取21MM作为直线的方向向量21MMs121212,,zzyyxx由点向式即得所求直线的方程为121121121zzzzyyyyxxxx——直线的两点式方程例2用对称式方程及参数方程表示直线043201zyxzyx解一用点向式在直线上任取一点),,(000zyx取10x000020360yzyz解得2,000zy点坐标),2,0,1(因所求直线与两平面的法向量都垂直取21nns},3,1,4{对称式方程,321041zyx参数方程.3241tztytx令1y得0zx532zx解得5,5zx点坐标(5,1,5)所求直线方程为,321041zyx参数方程.3241tztytx解二用两点式已求出一点)2,0,1(再求出一点两式相加得0543zx)54(31zx代入方程组得)2(31zy即)54(31zx)2(31zy对称式方程3132435zyx解三由.043201zyxzyx例3一直线过点)4,3,2(A，且和y轴垂直相交，求其方程.解因为直线和y轴垂直相交,所以交点为),0,3,0(B取BAs},4,0,2{所求直线方程.440322zyx由以上几例可见，求直线方程的思路、步骤：两定——定点、定向例4求过点A(1,2,－2),且通过直线L12132zyx的平面方程。解设所求平面的法向量为n由题设知点)2,1,2(M为直线L上一点其方向向量kjis3由于所求平面通过点A及LkjiAMn43AMsn431113kjikji1013由点法式得所求平面方程为0)2(10)1(13)2(zyx即051013zyx解所给直线的参数方程为tx2ty3tz24代入平面方程，得06)24()3()2(2ttt解得1t将1t代入直线的参数方程，即得所求交点的坐标为2,2,1zyx即交点为)2,2,1(M例5求直线234112xyz与平面062zyx的交点。定义直线:1L,111111pzznyymxx直线:2L,222222pzznyymxx22222221212121212121||),cos(pnmpnmppnnmmLL^两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）两直线的夹角公式三、两直线的夹角两直线的位置关系：21)1(LL,0212121ppnnmm21)2(LL//,212121ppnnmm直线:1L直线:2L},0,4,1{1s},1,0,0{2s,021ss,21ss例如，.21LL即例6求过点)5,2,3(且与两平面34zx和152zyx的交线平行的直线方程.解设所求直线的方向向量为},,,{pnms根据题意知,1ns,2ns取21nns},1,3,4{.153243zyx所求直线的方程例7求过点)3,1,2(M且与直线12131zyx垂直相交的直线方程.解先作一过点M且与已知直线垂直的平面0)3()1(2)2(3zyx再求已知直线与该平面的交点N,令tzyx12131.1213tztytx代入平面方程得,73t交点)73,713,72(N取所求直线的方向向量为MNMN}373,1713,272{},724,76,712{所求直线方程为.431122zyx例求过点M0(3,3,0)且与直线l1:211zyx垂直相交的直线l的方程.解：M0M1l1设所求直线l与l1的交点为M1(x1,y1,z1).则,0)0(2)3(1)3(1111zyx....