三角函数的性质(一)二.教学目标:掌握三角函数的定义域、值域的求法;理解周期函数与最小正周期的意义,会求经过简单的恒等变形可化为sin()yAx或tan()yAx的三角函数的周期.三.教学重点:求三角函数的定义域是研究其它一切性质的前提.四.教学过程:(一)主要知识:三角函数的定义域、值域及周期如下表:函数定义域值域周期sinyxR[1,1]2cosyxR[1,1]2tanyx{|,}2xxkkZR(二)主要方法:1.求三角函数的定义域实质就是解三角不等式(组).一般可用三角函数的图象或三角函数线确定三角不等式的解.列三角不等式,既要考虑分式的分母不能为零;偶次方根被开方数大于等于零;对数的真数大于零及底数大于零且不等于1,又要考虑三角函数本身的定义域;2.求三角函数的值域的常用方法:①化为求代数函数的值域;②化为求sin()yAxB的值域;③化为关于sinx(或cosx)的二次函数式;3.三角函数的周期问题一般将函数式化为()yAfx(其中()fx为三角函数,0).(三)例题分析:例1.求下列函数的定义域:(1)()3tanfxx;(2)()tan(sin)fxx;(3)2cos1()tan1xfxx.解:(1)由3tan0x,得tan3x,∴()23kxkkZ.∴()fx的定义域为(,]()23kkkZ.(2)∵1sin122x,∴xR.即()fx的定义域为R.用心爱心专心1(3)由已知2cos10lg(tan1)0tan10()2xxxxkkZ,得1cos2tan0tan1()2xxxxkkZ,∴223342kxkxkkxk()kZ,∴原函数的定义域为(2,2)(2,2)()43kkkkkZ.例2.求下列函数的值域:(1)22sincos1sinxxyx;(2)23sinlog3sinxyx;(3)1sin3cosxyx.解:由题意1sin0x,∴222sin(1sin)112sin(1sin)2(sin)1sin22xxyxxxx,∵1sin1x,∴1sin2x时,max12y,但sin1x,∴4y,∴原函数的值域为1(4,]2.(2)∵1sin1x,又∵3sin613sin3sinxxx,∴13sin223sinxx,∴11y,∴函数23sinlog3sinxyx的值域为[1,1].(3)由1sin3cosxyx得sincos31xyxy,∴21sin()31yxy,这里21cos1y,2sin1yy.∵|sin()|1x,∴2|31|1yy.解得304y,∴原函数的值域为3{|0}4yy.例3.求下列函数的周期:(1)sin2sin(2)3cos2cos(2)3xxyxx;(2)2sin()sin2yxx;(3)cos4sin4cos4sin4xxyxx.用心爱心专心2解:(1)133sin(2)sin2sin2cos2622tan(2)6133cos(2)cos2cos2sin2622xxxxyxxxxx,∴周期2T.(2)2sincossin2yxxx,故周期T.(3)1tan4tan(4)1tan44xyxx,故周期4T.例4.若*()sin,()6nfnnN,试求:(1)(2)(102)fff的值.解:∵*()sin,()6nfnnN的周期为12,而212(1)(2)(12)sinsinsin0666fff,∴(1)(2)(96)0fff,∴原式(97)(98)(102)(1)(2)(6)23ffffff.(四)巩固练习:1.函数2sin16yxx的定义域为[4,][0,].2.函数66sincosyxx的最小正周期为2.五.课后作业:《高考A计划》考点30,智能训练2,5,12,14.用心爱心专心3